AC快乐机

众所周知，KMP是算法竞赛中常用的字符串匹配算法，该算法通过对模式串构建next数组的方式，十分有效的提高了匹配的效率。

单一模式串的匹配可以构造next，那如果模式串有多个，也同样能通过构造next的方式匹配吗？

Fail指针

给你多个模式串，也就是给你一棵Trie，在Trie上进行匹配。假设我们有能力构建出一棵Trie的next，考虑KMP中的next的定义(指向最长的后缀)，那么一棵Trie的next是长这样的(以模式串he,she,him,hers,shit为例)：

这棵Trie的next是这样的(没画的都指向根)：

现在要拿主串ashers上去匹配，匹配的方式和KMP一样：如果可以接着向下走则向下走，否则爬next

那么匹配的路径为root-root-s-h-e-e-r-s，最终匹配成功

匹配的复杂度显然是$O(n+min(n,m))$的(其中$n$为主串长度，$m$为最长的模式串长度)

如果在Trie树上能构造出next的话，匹配复杂度就会变成线性，这就是AC自动机基础的原理啦，AC自动机中next的名字叫做Fail指针(也称后缀节点)，接下来的所有next都会用Fail代替

Fail指针是从一个Trie节点(对应字符串$\alpha$)到另一个Trie节点(对应的字符串$\omega$是$\alpha$的最长后缀)的有向边

匹配时，如果我们到达了不能继续匹配的节点，我们沿着Fail指针爬以维持尽可能更大的前缀

对于Trie树上每一个节点，我们都可以构造一个Fail指针

Fail指针的构造？

Fail指针的些许小性质：

1.根的所有儿子的Fail都是根

2.节点x的Fail指向y(非根)，那么x的t儿子的Fail指向y的t儿子的Fail

以上图为例，she中h的Fail指向的是he中的h，那么sh的e儿子she的Fail就会指h的e儿子he

3.一个节点一直沿着Fail爬会爬到根，期间深度是不断减小的

这样我们有了一个构建Fail的大体思路，对于每一个点，对他所有的儿子构建Fail，然后bfs下去，对t儿子构建Fail的过程可以通过不断爬Fail找到第一个有t儿子的点这一途径得到

但也会有一些不美妙的情况使这个过程变得很不美观

假设上图苟利国家生死以的以有一个撒儿子，用刚才所说的方法构造撒的Fail指针就需要沿着蓝色箭头爬好远好远好远好远好远好远才能找到，这个过程会让过程及复杂度极其不优美，AC自动机用Trie图简化了这个过程

Trie图

(为了方便，将根所有不存在的儿子都设为根)

对于Trie树上的每一个节点$x$，它的$\alpha$边指向的是它下一个字符$t$，表示如果当前状态是$x$，待匹配字符是$\alpha$，那么匹配到的点是$t$

设字符集为$S$，点$x$可匹配的(向外延伸出去的)字符集$S'\subseteq S$，即$\forall \alpha \in S'$，都可以$x$(不通过爬Fail的方式)由向外延伸(到$p$)

此过程描述为：当$x$的下一个字符是$\alpha$($\alpha \in S'$)时，走到的节点是$p$

但是如果当前状态是$x$，下一个字符$\beta \notin S'$，也就代表着在此失配，那么根据刚才所描述的方法，AC自动机需要爬Fail找到第一个有$\beta$儿子的点$y$继续匹配(到$q$)。

此过程可以描述为：当$x$的下一个字符是$\beta$($\beta \notin S'$)时，走到的节点是$q$

这两个过程描述起来十分相似，那么我们为什么不将$q$直接看作$x$的$\beta$儿子呢？

对于节点$x$，如果它并没有$\beta$儿子，那么沿着找到第一个有$\beta$儿子的节点$y$，并把$y$的$\beta$儿子看作是自己的$\beta$儿子

我们把这个操作称为NTR，NTR过后的图叫Trie图

上图理论上的Trie图是长这样的

但实际上是这样的

如果$x$NTR了$y$的$\alpha$，$y$NTR了$z$的$\alpha$，可以直接看作$x$NTR了$z$的$\alpha$，也就是说如果我们按照Fail的顺序构建，NTR操作只要考虑一个Fail就可以了

在Trie图上的匹配只要无脑向后走就可以了，也就是说，构建完Trie图，Fail就没什么用了

Trie图本质上是个有向图

Fail指针 Trie图的构造！

struct Node{
    Node *ch[26],*fail;
    bool b;
    Node():fail(NULL){
        b=false;
        for(int i=0;i<26;i++)
            ch[i]=NULL;
    }
}*root=new Node;
queue<Node*>q;
inline void Insert(char *s){///构建Trie
    Node *x=root;
    int len=strlen(s+1);
    for(int i=1;i<=len;i++){
        if(!x->ch[s[i]-'0']) x->ch[s[i]-'0']=new Node;
        x=x->ch[s[i]-'0'];
    }
    x->b=true;
}
inline void GetFail(){///AC自动机可以以bfs的方式构建
    root->fail=root;///根的Fail是他自己
    for(int i=0;i<26;i++){
        if(root->ch[i]) q.push(root->ch[i]),root->ch[i]->fail=root;
        ///将根儿子的Fail指向根，并放入队列里
        else root->ch[i]=root;
        ///如果root没有i这个儿子，就把他的儿子赋为自己，这样以上的性质2对根也满足了
    }
    while(!q.empty()){
        Node *x=q.front();q.pop();
        for(int i=0;i<26;i++){
            if(x->ch[i]) x->ch[i]->fail=x->fail->ch[i],q.push(x->ch[i]);
            ///根据性质2搞出各个儿子的Fail
            else x->ch[i]=x->fail->ch[i];///NTR操作(
        }
        Node *tmp=x->fail;
        while(tmp!=root && !tmp->b) tmp=tmp->fail;
        if(tmp->b) x->b=true;
        ///如果它的某一后缀是一个模式串，那么它也肯定包含模式串(一些特定的题统计时会用到)

    }
}

Fail树

把所有Fail指针当作一条无向边，可以发现构成的是一个树形结构

小例题：

给定一个n个单词的文章，求每个单词在文章中的出现次数 ($n\le200$，单词总长$\le 10^6$)

大体思路：先将所有的串建一个AC自动机，构建的Fail时候到一个点就将所有它的所有Fail都加上1

显然会T

可以发现，一个点一定是它Fail树中子树点的后缀（如果串s能匹配到这里，s就会是子树所有点的后缀）

那么一个串的出现次数事实上就是它Fail树子树中单词数量的和

然后没了