向量
记法
列向量
行向量
维度
v = (1,2)
v = (1,2,3)
v = (1,2,3,4)
向量的大小
几何解释
向量运算
向量和标量相乘除
几何解释
向量相加减
几何解释 (三角形法则)
向量加法满足交换率减法不满足交换率(a+b = b+a , c-d != d-c)
标准化向量
向量点成
几何解释
推导过程
假设
a=(ax,ay)
和
b=(bx,by)
都是二维向量,θ1是a与x轴的夹角,θ2是b与x轴的夹角,向量a与b的夹角θ等于θ1 - θ2。
a•b=axbx+ayby
=(|a|cosθ1|b|cosθ2)+(|a|sinθ1|b|sinθ2)
=|a||b|(cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2)
=|a||b|(cos(θ1−θ2))
=|a||b|cosθ
向量投影
VⅡ=|VⅡ|n|n|
(
n|n|
表示向量的方向)
|VⅡ|=|V|cosθ
∵
V•n=|V||n|cosθ
∴
cosθ=V•n|V||n|
∴
VⅡ=nVn|n|2
∴
V⊥=V−VⅡ
∴
V⊥=V−nVn|n|2
向量叉乘(a×b)
推导过程
假设 i, j, k 为基向量
a=(u1i,u2j,u3k)
b=(v1i,v2j,v3k)
a×b=(u1i+u2j+u3k)×(v1i+v2j+v3k)
=u1v1(i×i)+u1v2(i×j)+u1v3(i×k)+u2v1(j×i)+u2v2(j×j)+u2v3(j×k)+u3v1(k×i)+u3v2(k×j)+u3v3(k×k)
∵
i,j,k为基向量
∴
i×i=j×j=k×k=0
∴
i×j=k
∴
j×k=i
∴
k×i=j
∴
j×i=−k
∴
k×j=−i
∴
i×k=−j
∴
a×b=(u2v3−u3v2)i+(u3v1−u1v3)j+(u1v2−u2v1)k
几何解释
|a×b|=|a||b|sinθ