简述
这里显示两种,分别是,勒让德多项式跟切比雪夫多项式
勒让德多项式
区间是
x∈[−1,1]
,权函数为
ρ(x)≡1
P0(x)=1
Pn(x)=12nn!dndxn(x2−1)n
得到勒让德多项式的首项为
(2n)!2n(n!)2
所以首项系数为1的勒让德多项式,就是
P∗n(x)=Pn(x)(2n)!2n(n!)2
即,
P∗n(x)=n!(2n)!dndxn(x2−1)n
正交性:
∫1−1Pn(x)Pm(x)dx
上式,当且仅当n=m时,非0,且值为
22n+1
奇偶性:
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Pn(−x)=(−1)nPn(x)
递推性:
(n+1)Pn+1(x)=(2n+1)xPn(x)−nPn−1(x)
在区间上有n个零点
切比雪夫多项式
区间是
x∈[−1,1]
,权函数为
ρ(x)=11−x2√
Tn(x)=cos(narccos(x))
递推性:
Tn+1(x)=2xTn(x)−Tn−1(x)
正交性:
当n = m时有两种情况,
- n = m != 0:
π2
- n = m = 0
π
T_n(x) n为偶数,则只含有x的偶数幂;n为奇数的时候,就只含有x的奇数幂
零点问题:
同样,包含有n个零点,但是有公式可以直接获得答案
xk=cos2k−12nπ
k=1,2,3,...,n
首项问题:
Pn(x)
首项系数为
2n−1