0. 相机矩阵 Camera Matrix
1. 相机矩阵的分解
齐次坐标下,物体的物理坐标是 的形式,图像上对应点的坐标是 的形式,所以 相机矩阵 作为把物体映射成像的矩阵,应该是一个 的矩阵。
因此,摄像机矩阵可以表示为如下形式:
其中,
|
代表的是增广矩阵M
代表的是可逆的 的矩阵C
是列向量,代表世界坐标系
中相机的位置
- 要想求得 , 只需要 的前三列组成的 , 求出来 再乘以最后一列,就得到了
矩阵的确可以把 3D的点投影到 2D 空间,但是,这种形式下表达的信息是很粗糙的,比如
- 没有提供相机的摆放姿态
- 没有相机内部的几何特征
为了挖掘这些信息,对矩阵进一步分解为一个内参矩阵和外参矩阵的乘积:
其中
- 矩阵R是rotation矩阵,因此是正交的;K是上三角矩阵. 对P的前三列进行RQ分解就可得到KR
-
, 是
摄像机坐标系
下世界坐标系原点
的位置, 分别代表世界坐标原点在相机的 左右,上下,前后 位置关系。在三维重建中,一组标定好了的图片序列,它们各自的相机矩阵中的 应该是相同的。 - 其中 就是内参, 为外参
2. 相机外参
相机的外参矩阵描述的是世界坐标中相机的位置,及其指向方向。有两个成分:旋转矩阵R和平移向量t。但是它们并非恰好对应相机的旋转和平移矩阵。
常见的做法是在底部增加一行
,这使得矩阵为方形的,允许我们进一步将矩阵分解为真正的旋转和平移矩阵
这个矩阵描述的就是如何将世界坐标系中的点变换都相机坐标系中,向量t描述的是世界坐标系原点在相机坐标系中的位置,R的列代表的是相机坐标系中世界坐标系轴的方向。
从上可以发现,外参主要作用就是描述世界坐标系到相机坐标系的转换。与我们经常想的相机坐标系到世界坐标系的转换刚好相反。