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Solution

显然，对于攻击力为 $A$ ，防御力为 $B$ 的妖怪，在环境 $(a,b)$ 下的战斗力为：

$$A+\frac abB+B+\frac baA$$
可以发现真正与妖怪战斗力有关的是 $\frac ba$ 而不是 $(a,b)$ 。 设 $x=\frac ba$ 。
因此原式化为：
$$A+\frac 1xB+B+Ax=(1+x)A+\frac{1+x}xB$$
考虑两只妖怪，第一只的攻击力和防御力分别为 $A,B$ ，第二只的攻击力和防御力分别为 $C,D$ （ $A>C$ ），那么第一只妖怪的战斗力比第二只强，当且仅当：
$$(1+x)A+\frac{1+x}xB>(1+x)C+\frac{1+x}xD$$
$$(1+x)A-(1+x)C>\frac{1+x}xD-\frac{1+x}xB$$
$$\frac{D-B}{A-C}<x$$
$$\frac{B-D}{A-C}>-x$$
左边是斜率的表示！
将每个妖怪看作一个点 $(atk,dnf)$ 。
如果你学过斜率优化或其他相关的东西，那么你可以看出：
所有战斗力可能最大的妖怪都在所有点组成的 上凸壳上。
设 $P_i$ 为 上凸壳上从左到右第 $i$ 个点， $slope(X,Y)$ 为点 $X$ 和点 $Y$ 所在直线的斜率，
那么 $P_i$ 为战斗力最大值，当且仅当：
$$slope(P_{i+1},P_i)\le-x\le slope(P_i,P_{i-1})$$
也就是说：
$$-slope(P_i,P_{i-1})\le x\le -slope(P_{i+1},P_i)$$
也就是说，将 正数 $x$ 定义在一个区间 $[l,r]$ 内，求 $x$ 取何值时 $Ax+\frac Bx$ 最小 ，并求最小值。
显然，如果对 $x$ 的值的限制只是正数，那么 $x=\frac{\sqrt{AB}}A$ 时，上式取得最小值 $2\sqrt{AB}$ 。
因此可以分类讨论：
（1） $r<\frac{\sqrt{AB}}A$ 时， $x$ 取 $r$ 。
（2） $l>\frac{\sqrt{AB}}A$ 时， $x$ 取 $l$ 。
（3） $l\le\frac{\sqrt{AB}}A\le r$ 时， $x$ 取 $\frac{\sqrt{AB}}A$ 。
特殊：如果 $P_i$ 是上凸壳的第一个或最后一个点，那么 $x$ 就没有上界限制或没有下界限制（不过 $x$ 必须大于 $0$ ）。

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
using namespace std;
inline int read() {
    int res = 0; bool bo = 0; char c;
    while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
    if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
    while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
        res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
    return bo ? ~res + 1 : res;
}
typedef long long ll; const int N = 1e6 + 5;
int n, top; double ans = 1e133;
struct cyx {
    int x, y;
    inline cyx operator - (cyx rhs) {return (cyx) {rhs.x - x, rhs.y - y};}
    inline ll operator * (cyx rhs) {return 1ll * x * rhs.y - 1ll * y * rhs.x;}
    inline bool operator < (cyx rhs) {
        return x < rhs.x || (x == rhs.x && y > rhs.y);
    }
    inline double slope(cyx rhs) {
        return 1.0 * (y - rhs.y) / (x - rhs.x);
    }
} a[N], stk[N];
int main() {
    int i; n = read(); For (i, 1, n) a[i].x = read(), a[i].y = read();
    sort(a + 1, a + n + 1); For (i, 1, n) {
        if (i > 1 && a[i - 1].x == a[i].x) continue;
        while (top > 1 && (stk[top - 1] - stk[top]) * (stk[top - 1] - a[i]) > 0)
            top--; stk[++top] = a[i];
    }
    For (i, 1, top) {
        double l = 0, r = 1e79;
        if (i > 1) l = max(l, -stk[i - 1].slope(stk[i]));
        if (i < top) r = min(r, -stk[i].slope(stk[i + 1])); if (l > r) continue;
        double mid = sqrt(1.0 * stk[i].x * stk[i].y) / stk[i].x;
        if (r < mid) ans = min(ans,
            r * stk[i].x + 1.0 * stk[i].y / r + stk[i].x + stk[i].y);
        else if (l > mid) ans = min(ans,
            l * stk[i].x + 1.0 * stk[i].y / l + stk[i].x + stk[i].y);
        else ans = min(ans, mid * stk[i].x + 1.0 * stk[i].y / mid
            + stk[i].x + stk[i].y);
    }
    printf("%.4lf\n", ans); return 0;
}