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Description

题目分析

题目说的通俗点就是
在图中找一个环，使得环上边权之和除以节点个数最小，求这个最小平均值

也算比较裸的0/1分数规划了，和POJ - 3621 Sightseeing Cows有点像

为方便描述，记环$S=(\{v_i\},\{e_i\})$，
其中$\{v_i\}$为环上结点的集合，$\{e_i\}$为环上的边的集合
记每条边边权为$a[e_i]$,每个节点点权$b[v_i]$
并令所有点权为1

这样我们就得到了一个0/1分数规划模型
二分一个mid然后判定图上是否存在一个环S
使得$\frac{\sum_{i=1}^ta[e_i]}{\sum_{i=1}^tb[v_i]}<mid$
即该环是否满足$\sum_{i=1}^t(a[e_i]-mid*b[v_i])<0$
因为$b[v_i]=1$,所以再化简得$\sum_{i=1}^t(a[e_i]-mid)<0$

这样我们就把问题转化成了判定图中是否存在负环

我们把每条边得边权看作$a[e_i]-mid$，
然后在图上判负环，若有负环则$R=mid$，否则$L=mid$，
直到达到精度要求

#include<iostream>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef double dd;

int read()
{
    int f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}

const int maxn=3010;
int n,m;
int a[maxn];
struct node{int v,nxt; dd dis;}E[20010];
int head[maxn],tot;
int vis[maxn],judge;
dd d[maxn]; 

void add(int u,int v,dd dis)
{
    E[++tot].nxt=head[u];
    E[tot].v=v; E[tot].dis=dis;
    head[u]=tot;
}

void check(int u,dd x)
{
    vis[u]=1;
    for(int i=head[u];i;i=E[i].nxt)
    {
        int v=E[i].v; dd dis=E[i].dis;
        if(d[v]>d[u]+dis-x)//边权a[e_i]-mid
        {
            if(vis[v]||judge){judge=1;break;}
            d[v]=d[u]+dis-x;
            check(v,x);
        }
    }
    vis[u]=0;
}

int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        int u=read(),v=read();
        dd dis; scanf("%lf",&dis);
        add(u,v,dis);
    }
    dd L=-1e6,R=1e6,mid;
    while(R-L>1e-10)
    {
        mid=(L+R)/2;
        memset(d,0,sizeof(d)); judge=0;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            check(i,mid);
            if(judge) break;
        }
        if(judge)R=mid;
        else L=mid;
    }
    printf("%.8lf",L);
    return 0;
}