学习左偏树 || 可并堆,先从名字上理解
可并堆,从字面意思上理解就知道是可以快速合并的堆
左偏树,也不难想到意为整个堆是向左偏的,即堆的左子树距离要大于等于右子树
那么为什么可并会和左偏联系在一起呢
我们可以类比平衡树的启发式合并
即每次把节点总数小的一棵树合并到节点总数大的一棵树
左偏树 || 可并堆 也就是利用了这一点思想
每次合并的时候都往节点总数比较小的右子树合并
以便大大降低插入总复杂度
左偏树 || 可并堆—基本概念&&性质
学习 左偏树 || 可并堆 前先了解几个概念和性质
节点的距离:
注意到上面解释左偏的时候说的是
堆的左子树距离要大于右子树
而不是左子树深度要大于右子树
也就是说距离和深度是不一样的
距离,表示该节点到它子树里面最近的叶子节点的路径长 (叶子节点距离为0)
距离这个概念就是实现左偏树的关键
左偏树 || 可并堆 又与距离相关的区别于普通堆的几个性质
1.节点的左儿子的距离大于等于右儿子的距离
就是上面提到的利用了启发式合并的思想
这样每次合并都往右子树合并就会快很多
2.任意节点的距离等于其右儿子的距离+1
根据距离的定义不难证明
3.一个n个节点的左偏树距离最大为
蒟蒻暂时还不会证明=_=
左偏树 || 可并堆—合并
假设要合并的两个堆为x和y
我们假设
然后将y往x的右子树插入
插入后新树的右子树距离可能会变大
破坏了性质1
所以这时候要交换左右子树
然后更新根节点距离就好
int merge(int x,int y)
{
if(x==0||y==0) return x+y;
if(val[x]>val[y]||(val[x]==val[y]&&x>y)) swap(x,y);
ch[x][1]=merge(ch[x][1],y);//往右子树插入
fa[ch[x][1]]=x;
if(dis[ch[x][0]]<dis[ch[x][1]]) swap(ch[x][0],ch[x][1]);//维护左偏
dis[x]=dis[ch[x][1]]+1;
return x;
}
根据性质3,整个合并过程复杂度上界为
左偏树 || 可并堆—删除
直接合并堆顶的左子树和右子树就好
复杂度
void pop(int x)
{
val[x]=-1;
fa[ch[x][0]]=fa[ch[x][1]]=0;
merge(ch[x][0],ch[x][1]);
}
左偏树 || 可并堆—模板题
P3377 【模板】左偏树(可并堆)
合并操作要并查集维护堆顶(树根)
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int read()
{
int f=1,x=0;
char ss=getchar();
while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
return x*f;
}
const int maxn=100010;
int n,m;
int ch[maxn][2],fa[maxn];
int val[maxn],dis[maxn];
int merge(int x,int y)
{
if(x==0||y==0) return x+y;
if(val[x]>val[y]||(val[x]==val[y]&&x>y)) swap(x,y);
ch[x][1]=merge(ch[x][1],y);
fa[ch[x][1]]=x;
if(dis[ch[x][0]]<dis[ch[x][1]]) swap(ch[x][0],ch[x][1]);
dis[x]=dis[ch[x][1]]+1;
return x;
}
int find(int x)
{
while(fa[x]) x=fa[x];
return x;
}
void pop(int x)
{
val[x]=-1;
fa[ch[x][0]]=fa[ch[x][1]]=0;
merge(ch[x][0],ch[x][1]);
}
int main()
{
n=read();m=read(); dis[0]=-1;
for(int i=1;i<=n;++i) val[i]=read();
while(m--)
{
int k=read();
if(k==1)
{
int x=read(),y=read();
if(val[x]==-1||val[y]==-1||x==y) continue;
int fx=find(x),fy=find(y);
merge(fx,fy);
}
else
{
int x=read();
if(val[x]==-1) { printf("-1\n"); continue;}
int fx=find(x);
printf("%d\n",val[fx]);
pop(fx);
}
}
return 0;
}