1.（上海交通大学）设系统框图如图所示，试求：
(1)当$a=0,K=8$时，确定系统的阻尼比，无阻尼自然振荡$\omega _n$和$r(t)=t$作用下的稳态误差；
(2)当$K=8,\xi=0.7$时，确定参数$a$值及$r(t)=t$作用下系统的稳态误差；
(3)在保证$\xi=0.7,e_{ss}=0.25$的条件下，确定参数$a$和$K$。

解：系统的开环传递函数为：

$$G(s)H(s)=\frac{\frac{K}{s(s+2)}}{1+\frac{K}{s(s+2)}as}=\frac{K}{s(s+2+aK)}$$
闭环传递函数为：
$$\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}=\frac{K}{s^2+(2+aK)s+K}$$
(1)当 $a=0,K=8$时， $\Phi(s)=\frac{8}{s^2+2s+8}$
$$\therefore \begin{cases} 2 \xi \omega_n = 2\\ \omega ^{2}_{n} = 8\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \xi = \frac{1}{2\sqrt{2}} = 0.35\\ \omega _{n} = 2\sqrt2 = 2.83\\ \end{cases}$$
$$K_v = \lim_{s \to 0}sG(s)H(s)=\lim_{s \to 0}s\frac{8}{s(s+2)} =4$$
$$\therefore e_{ss} = \frac{1}{K_v}=0.25$$
(2)当 $K=8,\xi=0.7$时， $\Phi(s)=\frac{8}{s^2+(2+aK)s+8}$
$$\therefore \begin{cases} 2 \cdot 0.7 \omega_n = 2+8a\\ \omega ^{2}_{n} = 8\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a= 0.25\\ \omega _{n} = 2.83\\ \end{cases}$$
$$K_v = \lim_{s \to 0}sG(s)H(s)=\lim_{s \to 0}s\frac{8}{s(s+2+0.25\cdot8)} =2.02$$
$$\therefore e_{ss} = \frac{1}{K_v}=0.5$$
(3) $$K_v = \lim_{s \to 0}sG(s)H(s)=\lim_{s \to 0}s\frac{K}{s(s+2+aK)} =\frac{K}{2+aK}$$
$$\therefore e_{ss} = \frac{1}{K_v}=\frac{2+aK}{K}=0.25$$
$$\therefore \begin{cases} 2 \cdot 0.7 \omega_n = 2+Ka\\ \omega ^{2} _{n} = K\\ \frac{2+aK}{K} = 0.25\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a= 0.19\\ K= 31.36\\ \end{cases}$$
解析：本题综合考察二阶时域系统的传递函数形式及稳态误差的求法。解二阶系统题目，一定要先求出闭环传递函数，并得到阻尼比和振荡频率。本题是输入信号下的稳态误差，可直接利用公式求解。

2.（哈尔滨工业大学）控制系统的开环传递函数为$G(s)=\frac{K^*}{(s+1)(s+2)(s+4)}$
(1)证明系统的根轨迹通过$s_1=-1+j\sqrt{3}$；
(2)求有一个闭环极点在$s_1=-1+j\sqrt3$时的$K^*$值；
(3)求使闭环系统稳定的开环增益$K$的取值范围。
解：
(1)用相角条件：

$$\sum_{j=1}^m \angle(s-z_j) - \sum_{i=1}^n\angle(s-p_i) = (2k+1)\pi$$
$$\therefore 0^\circ-(90^\circ+30^\circ+60^\circ)=-180^\circ$$
即根轨迹通过 $s_1=-1+j\sqrt{3}$。
(2)用幅值条件
$$K^*=\frac{ \prod_{i=1}^n |s-p_{i}| }{ \prod_{j=1}^m |s-z_{j}|} = \frac{|-1+j\sqrt{3}-(-1)|\cdot|-1+j\sqrt{3}-(-2)|\cdot|-1+j\sqrt{3}-(-4)|}{1}=12$$
(3)劳斯判据
$$D(s)=(s+1)(s+2)(s+4)+K^*=s^3+7s^2+14s+8+K^*$$
$$\begin{matrix} s^3 & 1 & 14 \\ s^2 & 7 & 8+K^* \\ s^1 & \frac{98-8-K^*}{7} \\ s^0 &8+K^* \end{matrix}$$
$$\therefore \begin{cases} \frac{98-8-K^*}{7}>0\\ 8+K^*>0\\ K^*>0\\ \end{cases} \Rightarrow 0<K^*<90$$
$$G(s)=\frac{K^*}{(s+1)(s+2)(s+4)}=\frac{K}{2\cdot4(s+1)(\frac{1}{2}s+1)(\frac{1}{4}s+1)}$$
$$\therefore 8K^*=K$$
$$\therefore 0<K<11.25$$
解析：本题属于根轨迹的概念题。根轨迹的2个条件是相角条件和模值条件。相角条件主要用于证明点是否在根轨迹上，模值条件用于求根轨迹增益。判断闭环系统是否稳定可用劳斯判据。本题也可以画出根轨迹，判断是否在左半平面。注意根轨迹增益和开环增益的区别。