首先读题:
本题忽略
只将它后面的有理数进行计算,其次对于表面积,整个蛋糕的上表面面积之和等于最大圆的底面积。所以我们只需要计算侧面积,最底那层计算底面积即可。
仍然是一道经典的搜索剪枝题目。我首先把题目所描述的(1~M从底向上)倒过来(1~M从上到底)方便处理,然后我们从下(最大那层)往上搜索。
搜索思路:
那么我们首先爆搜,我们由于高度和半径下一层都要大于上一层,可以通过记录上一层的半径和高枚举当前一层的半径和高。枚举的下界自然就是当前层的层数(以半径为例,假设第一层半径为1,因为第二层的半径就最少比他大1,那么每一层最小的半径就是层数),枚举的上界呢就是上一层的半径或者高度减一。 但是最大那层的半径和高度的上限应该是多少呢?我们从极端情况考虑,当体积
不变,半径
最大时,高度
最小为1,那么
最大为
,同理可得
最大为
。
剪枝:
爆搜的思路大概就是这样,那么我们显然发现这样慢的不行,考虑几个剪枝。
1、枚举上限:我们可以通过圆柱体体积计算公式
得到:
的枚举范围为
~
的枚举范围为
~
2、在第一条的枚举中倒序搜索。因为这样我们可以尽量快的找到合法状态。
3、还需要一些可行性剪枝。我们预处理到每层最小的体积和和最小的侧面积和,//如果当前体积加上剩下层的最小体积>N或者当前表面积加上剩下层的最小表面积>最优解就剪枝 。相当于看到前面是墙就转弯。
4、还是一个可行性剪枝,如果把剩下的体积全部使用,在表面积最小的情况下仍大于最优解,那么可以剪枝。这个剪枝需要推导一下公式。
时return
// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int M,N;
int minn;
int minV[20],minS[20];
/*体积V = r^2h(pi)
侧面积A' = 2rh(pi)
底面积A = r^2(pi)*/
//从上往下 1~M层
void dfs(int now,int V,int S,int lastr,int lasth)
{//当前层数Now ,目前体积V,目前表面积S,上一层半径lastr,上一层高lasth
if(now==0)
{
if(V==N && minn>S)
minn=S;
return;
}
if(V+minV[now]>N || S+minS[now]>minn)
return;//如果当前体积加上剩下层的最小体积>N或者当前表面积加上剩下层的最小表面积>最优解就剪枝
if( int(2*(N-V)/lastr) + S >= minn)
return;//把剩下的所有体积,全部使用表面积大于最优解
for(int i=min(int(sqrt(N-V)),lastr-1);i>=now;i--)//枚举下一层的半径
{
if(now==M) S=i*i;
for(int j=min(int((N-V)/i*i),lasth-1);j>=now;j--)
{
dfs(now-1,V+i*i*j,S+i*j*2,i,j);
}
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&N,&M);
minV[0]=minS[0]=0;
for(int i=1;i<=M;i++)//预处理到某一层的最小侧面积和最小体积
{
minV[i]=minV[i-1]+i*i*i;
minS[i]=minS[i-1]+2*i*i;
}
minn=999999999;
dfs(M,0,0,sqrt(N),N);//当N时r最大为sqrt(N),h最大为N
if(minn==999999999) minn=0;
printf("%d\n",minn);
return 0;
}