微分方程中的自洽系统(Autonomous System)
微分方程中,自洽系统(Autonomous System)表示隐含独立变量的常微分方程系统。特别地,当独立变量是时间 时,这时的自洽系统称为不含时系统(TIV, time-invariant systems).
In mathematics, an autonomous system or autonomous differential equation is a system of ordinary differential equations which does not explicitly depend on the independent variable. When the variable is time, they are also called time-invariant systems.
—— wikipedia
对于不含时系统,由于微分方程系统隐含了时间,也就是说可以将
替换为
而不会影响系统的成立,于是可以认为这个系统是和时间无关的(这里的无关指与时间的开始无关)。 一般物理定律可以描述为一个不含时系统,因为大部分物理定律是恒成立,不管现在,过去还是未来都会成立。
进一步,自洽系统与动力系统有着密切的联系。任何自洽系统都可以化为一个动力学系统,而在一个弱假设下,一个动力学系统可以化为一个自洽系统。
Autonomous systems are closely related to dynamical systems. Any autonomous system can be transformed into a dynamical system and, using very weak assumptions, a dynamical system can be transformed into an autonomous system.
—— wikipedia
数学定义
一个自洽的微分方程系统,是有如下形式的微分方程系统:
相对的,非自洽的系统可以写为:
时间无关性
这里的时间无关,指与开始时刻无关,在物理上也就是说物理定律的成立是恒成立的。
比如对于下列自洽方程:
若 是上式的一个解,那么 同样是上式的一个解。
证明 若
是上式的一个解,那么记
有: