本文参考刘汝佳《算法竞赛入门经典》（第2版）

动态规划的核心是状态和状态转移方程

数字三角形 OpenJ_Bailian - 2760

【分析】

• 状态：d(i,j)表示从点(i,j)出发后能得到的最大和
• 状态转移方程：d(i,j)=max(d(i+1,j),d(i+1,j+1))

方法1（递归计算Time Limit Exceeded）

#include<iostream>

using namespace std;

const int maxn=105;

int a[maxn][maxn]={0};
int n;

void read(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            cin>>a[i][j];
        }
    }
}

int solve(int i,int j){
    return a[i][j]+(i==n?0:max(solve(i+1,j),solve(i+1,j+1)));
}

int main()
{
    read();
    cout<<solve(1,1)<<endl;
    return 0;
}

方法2（递推计算）

#include<iostream>

using namespace std;

const int maxn=105;

int a[maxn][maxn]={0};
int d[maxn][maxn];
int n;

void read(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            cin>>a[i][j];
        }
    }
}

void solve(){
   for(int i=1;i<=n;i++) d[n][i]=a[n][i];
   for(int i=n-1;i>=1;i--){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            d[i][j]=a[i][j]+max(d[i+1][j],d[i+1][j+1]);
        }
   }
}

int main()
{
    read();
    solve();
    cout<<d[1][1]<<endl;
    return 0;
}

方法三（记忆化搜索）

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

const int maxn=105;

int a[maxn][maxn]={0};
int d[maxn][maxn];
int n;

void read(){

    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            cin>>a[i][j];
        }
    }
}

int solve(int i,int j){
   if(d[i][j]>=0) return d[i][j];
   return d[i][j]=a[i][j]+(i==n?0:max(solve(i+1,j),solve(i+1,j+1)));
}

int main()
{
    memset(d,-1,sizeof(d));
    read();
    solve(1,1);
    cout<<d[1][1]<<endl;
    return 0;
}