莫比乌斯反演实际上是一两个公式定理的运用,自认为想要掌握它的话,其中的证明还是有必要了解的。看过网上一些博客,感觉都只证明了一半,没看到有人将这个定理完全证明出来。然而我最近在正好在学习初等数论,发现完全证明这个定理实际上并不需要很多知识,特此填坑。另外加上一些应用以构成完整的讲解。
实际上,这个定理的证明用到了一点数论函数相关知识。前置技能在此Mathcha传送门
内容并不多,自认为把这一页笔记内容学会,自己就可以把莫比乌斯反演的证明当练习题一样独立完成。接下来我还是会进行解释,当然,如果觉得我的解释不好,完全可以自己看这个笔记学习,我甚至都推荐自己看笔记,因为如果熟悉这样的数学语言的话,其实看的很快而且会有自己的认识。而且其中给出了欧拉函数的推导,没有学过欧拉函数的话,看这个也可以更加高效地学完这一块内容。(注意笔记中(m,n)=gcd(m,n) )
好,我们进入正题。首先,我们引入三个定义
Definition 1 可乘函数:算术函数f,满足 只要gcd(m,n) =1,就有f(mn)=f(m)f(n)。
没错, 比其他可乘函数宽泛一点,只要在gcd(m,n)=1条件下满足可乘就行。然后我们知道由唯一分解定理,任何正整数n可分解为若干素数的幂方积,所以若为可乘函数,有
..................................................................(1)
Definition 2 : 代表对n的所有正因子求和,如
Definition 3 莫比乌斯函数:
定义有点奇怪,关于这个函数,之后我们可以看到它的作用, 必须提到的是,可以证明,莫比乌斯函数是可乘函数。
然后是我们的目标----莫比乌斯反演定理:
Theorem 1 莫比乌斯反演定理: F(n)和f(n)为算术函数,若他们满足
则有
证明如下:
首先给出一个定理,
至于为可乘函数的证明,可参见我的笔记。
之后可以得到下一个定理
定理3证明:
可以看到,莫比乌斯反演提供了一个F(n)与f(n)的连接,而他们之间的桥梁就是莫比乌斯函数。之后我们会看到具体的例子。这里先给出线性筛莫比乌斯函数的代码:
int mu[maxn], vis[maxn];
int primes[maxn], cnt;
void get_mu() {
memset(vis, 0, sizeof(vis));
memset(mu, 0, sizeof(mu));
cnt = 0; mu[1] = 1;
for (int i = 2; i <= maxn; ++i) {
if (!vis[i]) { primes[cnt++] = i; mu[i] = -1; }
for (int j = 0; j<cnt&&primes[j] * i <= maxn; ++j) {
vis[primes[j] * i] = 1;
if (i%primes[j] == 0)break;
mu[i*primes[j]] = -mu[i];
}
}
}
应用举例:POJ 3904
题目给出n和n个正整数,问能找出多少个不同的四元组(a,b,c,d)使得该四元组的最大公因数为1.
分析:
首先要提的是,我们做题目往往用的是莫比乌斯反演的另外一种形式:
既然要用到莫比乌斯反演,我们首先就要找到合适的F和f。实际上,F和f的关系在于整除。我们可以假设
F(n)为有多少个四元组满足gcd(a,b,c,d)=n的整数倍
f(n)为有多少个四元组满足gcd(a,b,c,d)=n
所以我们的目标就是求f(1), 而实际上可以看出F与f构成了一组莫比乌斯变换对。有了反演公式,我们可以通过求F来求f,而这里面F很好求,要求F(n)我们只要在原数组中数出到能被n整除的数的个数m, 则C(m,4)就是F(n)
而由公式,由此我们可以发现
直接计算即可。
代码:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<stack>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<sstream>
#include<cmath>
#include<iterator>
#include<bitset>
#include<stdio.h>
using namespace std;
#define _for(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define _rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
typedef long long LL;
const int INF = 1 << 30;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int maxn = 10005;
int n, a[maxn], tot[maxn];
int mu[maxn], vis[maxn];
int primes[maxn], cnt;
void get_mu() {
memset(vis, 0, sizeof(vis));
memset(mu, 0, sizeof(mu));
cnt = 0; mu[1] = 1;
for (int i = 2; i <= maxn; ++i) {
if (!vis[i]) { primes[cnt++] = i; mu[i] = -1; }
for (int j = 0; j<cnt&&primes[j] * i <= maxn; ++j) {
vis[primes[j] * i] = 1;
if (i%primes[j] == 0)break;
mu[i*primes[j]] = -mu[i];
}
}
}
void get_tot() {
memset(tot, 0, sizeof(tot));
for (int i = 0; i<n; ++i) {
int x = a[i];
int m = sqrt(x);
for (int j = 1; j <= m; ++j) {
if (x%j == 0)tot[j]++, tot[x / j]++;
}
if (m*m == x)tot[m]--;
}
}
LL Cn4(int m) {
if (m == 0)return 0;
return 1ll * m*(m - 1)*(m - 2)*(m - 3) / 24;
}
int main()
{
//freopen("C:\\Users\\admin\\Desktop\\in.txt", "r", stdin);
//freopen("C:\\Users\\admin\\Desktop\\out.txt", "w", stdout);
get_mu();
while (~scanf("%d", &n)) {
for (int i = 0; i<n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
get_tot();
LL ans = 0;
for (int i = 1; i<maxn; ++i) {
ans += 1ll * mu[i] * Cn4(tot[i]);
}
printf("%I64d\n", ans);
}
return 0;
}
这样莫比乌斯反演就算是入门了吧。