数学解题报告
题目:
已知△ABC是等腰三角形,∠BAC=90︒,CD=BC,DE⊥CE,DE=CE,连接AE,点M是AE的中点。
- 如图1,若点D在BC边上,连接CM,当AB=4时,求CM的长;
- 如图2,若点D在△ABC的内部,连接BD,点N是BD中点,连接MN,NE。求证:MN⊥AE。
图1 图2
解析:
- 题目中含有直角三角形求长度,应想到勾股定理。
- 证明垂直,要证直角(这里不能用三线合一,因为不是等腰)。条件中有两个中点,可以构造全等三角形、中位线;
答案:
(1)
连接AD,
∵AB=AC=4,∠BAC=90︒
∴∠B=∠ACD=45︒,BC==
∴DC=BC=
∵DE=EC,
∴DE=EC=2,∠DCE=∠EDC=45︒
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=90︒
∴AE==
∵AM=ME
∴CM=AE=
(2)
延长EN至F使NF=NE,连接AF,BF,
在△DNE和△BNF中
∴△DNE≌△BNF(SAS)
∴CF=DE=EC,∠FBN=∠END
∵∠ACB=∠DCE=45︒
∴∠ACE=90︒-∠DCB
∴∠ABF=∠FBN-∠ABN
=∠NDE-∠ABN
=180︒-∠DBC-∠DGB-∠ABN
=180︒-∠DBC-∠DCB-∠CDE-∠ABN
=90︒-∠DCB
=∠ACE
在△ABF和△ACE中
∴△ABF≌△ACE(SAS)
∴∠FBA=∠EAC
∴∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90︒
∵N为EF中点,M为AE中点
∴AF∥NM
∴∠NME=∠FAE=90︒
∴MN⊥AE
变式:在原来的条件下,如图3,将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转,使∠BCD=30︒连接BD,点N是BD中点,连接MN,探索的值并直接写出结果。
图3
解析:
探索比值即是求数量关系(但这题有点坑,不是整数倍, 千万不要凭直觉),就可能要运用线段的和差倍分以及勾股定理。有多个中点可以想到中位线,直角三角形斜边中线以及倍长中线构造全等三角形。
答案:
证明过程:
延长DM到G使MG=MD,连接AG,EC交于点F
在△AMG和△EMD中
∴△AMG≌△EMD(SAS)
∴AG=DE=EC,∠GAM=∠DEM
∴AG∥DE
∴∠F+∠DEC=180︒
∴∠F=180︒-∠DEC=90︒
∴∠FAC+∠ACF=90︒
∵∠BCD+∠ACF=180︒-∠ACB-∠DCE=90︒,
∠BCD=30︒
∴∠FAC=∠BCD=30︒,∠ACE=∠ACB+∠BCD+∠DCE=120︒
∴∠BAG=∠BAC+∠CAF=120︒
∴∠BAG=∠ACE
在△ABG和△CAE中
∴△ABG≌△CAE(SAS)
∴BG=AE
∵BN=ND,DM=MG
∴BG=AE=2MN
设BC=2x
∴AC==,CD=DE=EC=x
∵∠FAC=30︒
∴CF=AC=x
∴AF==x, EF=FC+CE=x
∴AE==x
∴MN=AE=x
∴
总结:
- 解题步骤:
①审题(不要忽视任何一个条件,因为通常不会有多余的条件);
②有需要时添加辅助线(非常重要的一步,加错了就没办法做下去。 当然,一般情况下有多种加法);
③思考并解题。
- 注意事项
①辅助线的添加是否有误(比如,不能同时满足多个条件,不一定在同一直线上,或其他不可行的作法);
②当存在多余条件时,要多留个心眼,看看是否有哪一步做错了,或者审错了题。
(3)与中点有关的辅助线,一般为这四类:
①倍长中线
②三线合一(等腰三角形)
③斜边中线(直角三角形)
④中位线