Problem F. Color
题意:长度为n的一个连续串让你染色,使得相邻位置的颜色不能一样,且串中恰好一共出现k种颜色,问若是你有m种颜色(m>=k),一共有多少种染色方法满足给定条件.
我们易推得如果仅仅是要求相邻位置的颜色不一样那么
我们再次设对于恰好出现种颜色的染色方法有
种,那么对于易得
我们再次设
那么便可以得到这样的一条等式
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对于形如上式的的式子,我们都可以得到以下反演结果
以上都是二项式反演已知的固定反演形式,如果想要了解该等式的证明
可以参考lyf学长的证明
对于14年icpc西安区域赛的的这道题,若是已知这个结论这就是个秒A的水题了,然而今天打重现直接被这道题卡死了
问了问A了的队友,说是感觉要容斥然后猜了一下结论就A了......
emmmm.......
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<set>
#include<queue>
#include<limits.h>
#include<string.h>
#include<map>
#include<list>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long long LL;
#define inf int(0x3f3f3f3f)
#define mod ll(1e9+7)
#define eps double(1e-6)
#define pi acos(-1.0)
#define lson root << 1
#define rson root << 1 | 1
ll n,m,k;
ll c[1000005];
ll inv[1000005];
ll powmod(ll a,ll b)
{
ll ans=1;
while(b)
{
if(b&1)
ans=(ans*a)%mod;
a=(a*a)%mod;
b>>=1;
}
return ans;
}
void init()
{
inv[0]=1;
for(int i=1; i<=1000001; i++)
inv[i]=powmod(i,mod-2);
}
void init_c()
{
c[0]=1;
for(int i=1; i<=k; i++)
c[i]=c[i-1]*(k-i+1)%mod*inv[i]%mod;
}
ll C(ll n,ll m)
{
ll ans=1;
for(int i=1; i<=m; i++)
ans=ans*(n-i+1)%mod*inv[i]%mod;
return ans;
}
int main()
{
init();
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int t;
init();
cin>>t;
for(int i=1; i<=t; i++)
{
cin>>n>>m>>k;
cout<<"Case #"<<i<<": ";
init_c();
ll ans=0;
ll flag=-1;
for(int i=k-1; i>=1; i--)
{
ans=(ans+flag*i*c[i]%mod*powmod(i-1,n-1)%mod+mod)%mod;
flag*=-1;
}
ans=(ans+k*c[k]*powmod(k-1,n-1))%mod;
ans=(ans*C(m,k)+mod)%mod;
cout<<ans<<endl;
}
}