在找题解的时候发现了一篇很不错的树状数组详解,放在这里与大家共享 文章地址
树状数组:
树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构,假设数组a[1..n],
用lowbit函数维护了一个树的结构
那么查询a[1]+...+a[n]的时间是log级别的,而且是一个在线的数据结构,
支持随时修改某个元素的值,复杂度也为log级别。
来观察这个图:
令这棵树的结点编号为C1,C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和,那么容易发现:
C1 = A1
C2 = A1 + A2
C3 = A3
C4 = A1 + A2 + A3 + A4
C5 = A5
C6 = A5 + A6
C7 = A7
C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
...
C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16
这里有一个有趣的性质:
设节点编号为x,那么这个节点管辖的区间为2^k(其中k为x二进制末尾0的个数)个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax,
所以很明显:Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An
算这个2^k有一个快捷的办法,定义一个函数如下即可:
int lowbit(int x){
return x&(x^(x–1));
}
当想要查询一个SUM(n)(求a[n]的和),可以依据如下算法即可:
step1: 令sum = 0,转第二步;
step2: 假如n <= 0,算法结束,返回sum值,否则sum = sum + Cn,转第三步;
step3: 令n = n – lowbit(n),转第二步。
可以看出,这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来,为什么是效率是log(n)的呢?以下给出证明:
n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1,所以查询效率是log(n)的。
那么修改呢,修改一个节点,必须修改其所有祖先,最坏情况下为修改第一个元素,最多有log(n)的祖先。
所以修改算法如下(给某个结点i加上x):
step1: 当i > n时,算法结束,否则转第二步;
step2: Ci = Ci + x, i = i + lowbit(i)转第一步。
i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。
对于数组求和来说树状数组简直太快了!
代码:
#include <iostream>
#include<cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n, b[100005], val[100005];
struct ac
{
int x, y, id;
}a[100005];
bool cmp(ac a,ac b) //对数据进行排序
{
if(a.y != b.y)
return a.y > b.y; //先由大到小排y
return a.x < b.x; //y相同时,x由小到大排
}
int lowbit(int i)
{
return i&(-i);
}
void update(int i, int x)
{
while(i <= 100005)
{
b[i] += x;
i += lowbit(i);
}
}
int sum(int i)
{
int sum = 0;
while(i > 0)
{
sum += b[i];
i -= lowbit(i);
}
return sum;
}
int main()
{
int i;
while(cin>>n,n)
{
memset(b, 0, sizeof(b));
memset(val, 0, sizeof(val));
for(i = 0; i < n; i++)
{
scanf("%d %d", &a[i].x, &a[i].y);
a[i].id = i;
a[i].x++; //x与y有可能为0,所以都++
a[i].y++;
}
sort(a, a+n, cmp);
val[a[0].id] = sum(a[0].x); //val[i]表示在i点有多少大于i的范围的点
update(a[0].x, 1);
for(i = 1; i < n; i++)
{
if(a[i].x == a[i-1].x && a[i].y == a[i-1].y) //两区间相等时,该点的val等于上一个点
val[a[i].id] = val[a[i-1].id];
else val[a[i].id] = sum(a[i].x);
update(a[i].x, 1); //更新该点x值
}
cout<<val[i];
for(i = 1; i < n; i++)
{
cout<<" "<<val[i];
}
cout<<endl;
}
return 0;
}