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题意：
给定一个n*m的棋盘，每天等概率选择一个空的位置放上棋子，当棋盘的每一行和每一列都存在棋子时，下棋结束。问下棋结束时棋盘上棋子数的期望。

思路：
定义：$dp[i][j][k]$表示使用k个棋子，覆盖了$i$行$j$列的概率。

考虑当前下一个新的棋子，对于棋盘情况的改变有四种情况：
1. 覆盖的行数+1，而列数不变。
2. 覆盖的列数+1，而行数不变。
3. 覆盖的行数列数均+1
4. 覆盖的行数列数均不变。

按这四种情况乘上其相应的概率，转移状态即可。

内存方面可以使用滚动数组进行优化，但优化时需要注意的一个细节是：
$dp[0][0][0] = 1$ 而 $dp[0][0][x] = 0(x>0)$

此题得解。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int A = 50 + 5;
double dp[A][A][2];

int n,m;

int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        int Mx = n*m;

        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[0][0][0] = 1.0;

        double ans = 0;
        for(int k=1 ;k<=Mx ;k++){
            for(int i=1 ;i<=k && i<=n ;i++){
                for(int j=1 ;j<=k && j<=m ;j++){
                    dp[i][j][k&1] = dp[i-1][j][(k&1)^1]*(n-i+1)*j/(1.0*n*m-k+1) +
                                     dp[i][j-1][(k&1)^1]*(m-j+1)*i/(1.0*n*m-k+1) +
                                     dp[i-1][j-1][(k&1)^1]*(n-i+1)*(m-j+1)/(1.0*n*m-k+1);
                    if(!(i==n && j==m))
                        dp[i][j][k&1] += dp[i][j][(k&1)^1]*(i*j-k+1)/(1.0*n*m-k+1);
                }
            }
            ans += k*dp[n][m][k&1];
            dp[0][0][0] = 0;
        }
        printf("%.10f\n",ans);
    }
    return 0;
}