1.设
f(n)
为n的因子的和,求:
∑i=1nf(i)
其中
n<1012
做法其实也是常见的套路:
ans=∑in∑jn[j|i]∗j=∑jnj∑in[j|i]=∑j=1n⌊nj⌋
这个就很显然了,分块求就行了,复杂度
O(n−−√)
2.有欧拉函数
ϕ(x)
,求:
∑i=1nϕ(i)
其中
n<1011
这个之前讲过了,杜教筛套路一波。复杂度
O(n23)
3.有莫比乌斯函数
μ(x)
,求:
∑i=1nμ(i)
其中
n<1011
同样杜教筛套路一波。复杂度
O(n23)
4.设:
f(n)=∑i=1nigcd(n,i)F(n)=∑i=1nf(i)
求:
F(n)%(109+7),n<109
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则:
f(n)=∑i=1n∑d|n[gcd(i,n)==d]∗id=∑d|nn∑d|in[gcd(i,n)==d]∗id=∑d|nn∑d|ind[gcd(id,nd)==1]∗id=∑d|nn∑knd[gcd(k,nd)==1]∗k
可以发现 里面的和式其实就是欧拉函数
ϕ(x)
里所有与x互质的数的和设为
h(x)
。
则:
f(n)=∑d|nh(nd)=∑d|nh(d)=12(1+∑d|ndϕ(d))
所以:
F(n)=∑i=1n12(1+∑d|idϕ(d))=n2+12∑i=1n∑d|idϕ(d)
设:
g(n)=∑i=1n∑d|idϕ(d)
实际上就是求
g(n)
,则:
g(n)=∑i=1n∑d|idϕ(d)=∑i=1n∑d=1⌊ni⌋dϕ(d)
发现不是很好搞阿。。。
设
ϕ′(n)=nϕ(n)
,容易验证
ϕ′(n)
是积性函数。
里面有类似的狄利克雷卷积的结构,能不能找另一个积性函数和他卷一卷?