题意:
给你一个序列a, 定义RMQ(A,l,r) 为A序列 l到r中最大值的最小位置i。
RMQ相似即 对于A,B两个序列,使得任意l ,r , RMQ(A,l,r)= RMQ(B,l,r)
现在B序列元素的值均在[0,1]随机。如果B与A RMQ相似,则B的重量为B元素的和,否则为0。
求B的期望重量。
题解:
笛卡尔树 正好可以代表任意的RMQ(A,l,r)。
对每个节点,都求一边他这个子树的大小a。要使他的该节点最大值,概率为1/a。所有节点概率乘一下即为B与A RMQ相似的概率。
由于值在[0,1]之间随机分布,所以重量的期望为n/2,与是否RMQ相似无关。所以最后期望值即为 概率*n/2。
代码:
include<bits/stdc++.h>
#define fir first
#define sec second
#define pii pair<int,int>
#define debug(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl;
#define pli pair<ll,int>
#define chmax(x,y) x=max(x,y)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = 1e9 + 7;
const ll INFLL = 1LL << 60;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 1e6 + 7;
int stk[MAXN], top, l[MAXN], r[MAXN], vis[MAXN];
int a[MAXN];
ll ans;
ll inv[1000005];
int dfs(int now) {
int num = 1;
if(l[now]) num += dfs(l[now]);
if(r[now]) num += dfs(r[now]);
ans = ans * inv[num] % MOD;
return num;
}
void build(int n) {
int top = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) l[i] = 0, r[i] = 0, vis[i] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int k = top;
while (k > 0 && a[stk[k - 1]] < a[i]) --k;
if (k) r[stk[k - 1]] = i;
if (k < top) l[i] = stk[k];
stk[k++] = i;
top = k;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) vis[l[i]] = vis[r[i]] = 1;
int rt = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) if (vis[i] == 0) rt = i;
dfs(rt);
}
void gao() {
inv[1]=1;
for(int i = 2; i < 1000001; i++) inv[i]=inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
}
int main() {
#ifdef LOCAL
freopen ("input.txt", "r", stdin);
#endif
int T;
cin >> T;
gao();
while(T--) {
int n;
scanf("%d", &n);
ans = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
build(n);
printf("%lld\n", ans * n % MOD * inv[2] % MOD);
}
}