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常用概念
(1)dimV:线性空间中,线性无关向量的最大个数(矩阵的秩)
(2)N(A):矩阵零空间:AX=0的X的解空间
(3)span{c1,c2,c3….}:矩阵列空间
(4)奇异矩阵:矩阵的行列式为0
(5)det(A)=|A|:A的行列式的值
(6)tr(A):矩阵A的迹,对角线的值
trA=a11+a22+....ann
矩阵tr的性质:
(1) b1+b2+…+bn=trA
(2)b1b2…*bn=detA 其中:其中b1,b2,…,bn为矩阵A的特征值
(7)diag{r1,r2,…rn}:由r1,r2…rn组成的对角阵
(8)欧式空间:实数空间 U空间:包含复数的空间
转置:欧式空间的转置为T,U空间转置为H
对称矩阵:欧式空间中,AT=A 为对称矩阵,在U空间中表达为AH=A ,称为Hermite阵
(9)奇异值:
(10)
几种不同的矩阵
- 奇异矩阵:矩阵的行列式为0
- 正交阵(U阵):
AAT=ATA=E ,即AT=A−1
根据矩阵的乘法:
根据上面可以得出,正交阵的性质:
(1)同行的乘积之和为1
(2)异行的乘积之和为0
对于欧式空间(实数空间)表达式:
对于U空间(复数空间)表达式:
任何一个矩阵U相似于上三角阵:
- 对称矩阵(Hermite阵):
AH=A - 正规阵:
AAH=AHA
正规阵的性质:U相似于对角形矩阵
对称矩阵和正规阵的性质:
(1)不同特征值的特征向量相互正交
(2)可U对角化(只有正规阵才可U对角化)
因此U对角化的条件:正规阵 - 奇异矩阵,非奇异矩阵(满秩矩阵)
- 奇异矩阵R(A)< n
- 正定阵
f(X)是二次型矩阵,对于任意的X,都有
f(X)=XTAX>0
则f成为正定二次型,A成为正定阵
半正定阵
f(X)=XTAX>=0
方程用矩阵表示
一次线性方程
f(x)=∑bixi=bTX 二次齐次方程(只有二次项)
f(x)=∑ni=1∑nj=1Aijxixj 二次方程的表示
f(x)=XTAX+bTX+c
其中第一项表示二次的项,第二项表示一次项,第三项表示常数项
方程的梯度计算的常用公式(通过求梯度就可以求得其全微分)
全微分=梯度 x dx
eg:
dz=fxdx+fydy=(fx,fy)T(dx,dy)
一次微分: 雅克比行列式
二次微分: Hessian 行列式
对角化
- 相似对角化
表达式:
条件(满足一个即可):
(1)A有n个线性无关的特征向量
(2)
(3)
求解过程
1)令
2)
3)最后
- U对角化
表达式:
A=U^{-1}diag{\lambda_1,\lambda_2,…\lambda_n}U
条件(满足一个即可):
(1)A有n个线性无关的特征向量
(2)
并且A是正规阵(包括对称矩阵)
求解过程
1)令
2)
3)将P化为simth标准型U
4)最后
- 二次型对角化
表达式:
将矩阵A转化为一个对角形 (左边一个行变换,右边一个相同的列变化,转化为对角形)
条件(满足一个即可):
(1)A为对称矩阵
并且A是正规阵(包括对称矩阵)
求解过程
3.1 U相似对交互即可