什么是图

图是右顶点和边组成。顶点表示对象，边表示两个对象的连接关系。
一般的表示方法：顶点集合是V、边的集合是E,图记做G=(V , E), 连接两点u和v的边记做e=(u,v)。

图的种类

图一般分为两种：

• 无向图
• 有向图

无向图

相邻：两个顶点之间有边。
路径：相邻顶点序列称为路径。
圈：起点和终点重合的路径称为圈。
连通图：任意两点之间都有路径连接的图叫做连通图。
度：顶点连接的边数叫做这个顶点的度。
树：没有圈的连通图叫做树。
森林：没有圈的非连通图叫做森林。

树的重要性质:一棵树的边数恰好是顶点数-1；反之，边数等于顶点数-1的连通图就是一颗树。

有向图

DAG：没有圈的有向图叫做DAG。
拓扑序：对于每个顶点我们给它一个编号，第i号顶点叫做$v_i$。那么存在从顶点$v_i$到顶点$v_j$的边时就有i

图的表示

• 邻接矩阵
• 邻接表

邻接矩阵

近接矩阵用|V| × |V|的二维数组来表示图。g[i][j]表示顶点i和顶点j的关系。

邻接表

用邻接矩阵表示稀疏图会浪费大量的内存空间。在邻接表中，是通过把从一个顶点出发与它相邻的所有节点用链表保存起来。所以只需要O(|V|+|E|)的内存空间。
邻接表的存储方法：
可以使用vector数组实现，比如: vector <int> G[MAX_N]; G[0]表示0号节点，该容器中的节点都是0号节点的邻接节点。G[1]表示1号节点，该容器中的所以节点都是1号节点的邻接节点。

总结：稀疏图用邻接表，稠密图用近接矩阵。

图的搜索

尝试用图的知识来解题
问题：二分图判定
给定一个具有n个顶点的图。要给图上的每个顶点染色，并且要使相邻顶点的颜色不同。问题是能否用最多两种颜色来染色？题目保证没有重边和自环。
限制条件
$1 \leqslant n \leqslant 100$

输入样例：
n=3； //表示顶点数
0 1 2 -1 //第一个数字表示顶点号，最后一个表示换行标志，中间表示该顶点的邻接点
1 0 2 -1
2 1 0 -1
该图形为：

输出样例：
No；

相邻顶点染成 不同颜色的问题叫做图的着色问题。对图进行染色所需要的最小颜色称为最小着色数。最小着色数2的图称为二分图。

如果只有两种颜色，那么确定一种颜色之后，和它相邻的顶点的颜色就确定了。因此选择任意一个顶点出发，依次给相邻顶点着色，就可以判断是否被两种颜色染色了。使用深度优先搜索（DFS)可以简单实现。

#include <iostream>
#include <vector>
#define MAX_V 1000

using namespace std;

vector<int> G[MAX_V]; //存储图,使用vector表结构
int V;//顶点数
int color[MAX_V] {}; //顶点颜色


void init(){
    cin>>V;
    int vec;
    for(int i=0;i<V;i++){
        cin>>vec;
        while(true){
            int temp;
            cin>>temp;
            if(temp == -1){
                break;
            }
            G[vec].push_back(temp);
        }
    }
}
bool dfs(int v,int c){
    color[v]=c;//顶点v染成c颜色
    for(int i=0;i<G[v].size();i++){
        if(color[G[v][i]]==c) return false;  //如果邻接点被染成了c则返回false
        if(color[G[v][i]]==0){      //如果邻接点被没有染色，则染色成-c.
            if(!dfs(G[v][i],-c)){
                return false;
            }
        }
    }
    return  true;
}

void solve(){
    for(int i=0;i<V;i++){
        if(color[i]==0){
            if(!dfs(i,1)) {
                cout<<"No\n";
                return;
            }
        }
    }
    cout<< "Yes\n";
}

int main(){
    init();
    solve();
    return 0;
}

/*输入示例
 4
0 1 3 -1
1 0 2 -1
2 1 3 -1
3 0 2 -1
 */