一、完全图、偶图与补图
完全图:每两个顶点间都有一条边的简单图
- n个顶点的完全图即为
Kn,称为n阶完全图
- 完全图边数
m(Kn)=2n(n−1)
偶图:也叫二分图,二部图。具有二分类(X,Y)的偶图,它的点集可以分解为两个非空子集X和Y,使得每一条边的一个端点在X中,另一个端点在Y中,记为G=(X, Y)。
- 1、 完全偶图:若|X|=m,|Y|=n,其中X中顶点和Y中每个顶点都连接,则这样的偶图记为
Km,n
- 2、反应两个不同团体或集合间关系即为偶图
- 3、二分图的判定和匹配问题(以后更新)
补图:对于图G=(V, E),令集合
E1={uv∣u̸=v,u,v∈V},则
H=(V,E1−E)为G的补图。记为
H=G。H+G即为完全图。
- 1、
k1补图为自身;
k2补图为两个点
- 2、完全图的补图都是全顶点,即为空图
- 3、边关系满足
m(G)+m(G)=Cn2=2n(n−1)
- 4、若G与其补图同构,则称G为自补图
- 5、证明:若n阶图是自补图,则顶点数满足
n=0,1(mod4)
- 若G为自补图,顶点数为n,则
m(G)+m(G)=2n(n−1)所以:
m(G)=4n(n−1)。故m(G)能被4整除,因此n为4的倍数或者(n-1)的倍数,故
n(mod4)=0or1
二、顶点的度和图的度序列,频序列
1、顶点的度和性质
定义:G的顶点v的度数记为d(v),指G中与v关联的边的数目,每个环计两次。分别用
δ(G)和
Δ(G)表示G的最小度和最大度。奇数度的顶点称为奇点,反之为偶点。设G=(V,E),若所有点顶点度数均为k,则G称为k-正则图。
性质:
- 1、对于完全图
k1,d(v)=0
- 2、欧拉定理(握手定理):图的顶点度数和为边数m的两倍,即
∑v∈V(G)d(v)=2m
- 3、证明:在任何图中,奇点个数为偶数。
设
V1,V2分别为G中奇点集和偶点集,则由握手定理可得:
v∈V1∑d(v)+v∈V2∑d(v)=v∈V∑d(v)=2m
由于
∑v∈Vd(v)=2m是偶数,
∑v∈V2d(v)是偶数,
故
∑v∈V1d(v)只能是偶数,故而奇点数为偶数。
- 4、正则图的阶数和度数不同时为奇数(如果都是奇数了,奇数相乘还是奇数,就违背了握手定理)
- 5、证明:
δ(G)≤n2m≤Δ(G)
由握手定理有
nδ(G)≤∑v∈Vd(v)=2m≤nΔ(G),所以
δ(G)≤n2m≤Δ(G)
2、图的度序列
定义:一个图的各个顶点度构成的非零数组
(d1,d2,⋯,dn)即为图的度序列。简单图的度序列也成为图序列。
性质:
- 1、一张图有唯一度序列,但任意一个度序列不一定能构成图,也不一定只有一张图。
- 2、非负数组
(d1,d2,⋯,dn)能构成图的充要条件是
∑di为偶数(可以有重边,环)。
- 3、非负数组
{π=(d1,d2,⋯,dn),d1≥d2≥⋯dn,∑di=2m}是图序列(简单图)的充要条件是
{π=(d2−1,d3−1,⋯,dd1+1−1,dd1+2,⋯,dn)}是图序列。
- 4、一个简单图G的n个点的度不能互不相同。
3、图的频序列
度数为k的点数组成的序列。例如
π=(6,5,4,3,2,2,2),则频序列
f=(1,1,1,1,3)。频序列即为度的分布情况。
∑i(fi)=n。随机图度数服从泊松分布,无标图服从幂律分布。