就是给有向带权图中指定一个特殊的点root，求一棵以root为根的有向生成树T，并且T中所有边的总权值最小。解决这种问题要用到朱刘算法。朱刘算法有以下五步：

1、找到除了root以为其他点的权值最小的入边。用In[i]记录

2、如果出现除了root以为存在其他孤立的点，则不存在最小树形图。

3、找到图中所有的环，并对环进行缩点，重新编号。
4、更新其他点到环上的点的距离，如：

环中的点有（Vk1，Vk2，… ，Vki）总共i个，用缩成的点叫Vk替代，则在压缩后的图中，其他所有不在环中点v到Vk的距离定义如下：
gh[v][Vk]=min { gh[v][Vkj]-in[Vkj] } (1<=j<=i)

而Vk到v的距离为
gh[Vk][v]=min { gh[Vkj][v] }              (1<=j<=i)

 5、重复3，4知道没有环为止。

为什么出边的权不变，入边的权要减去in [u]？

    对于新图中的最小树形图T，设指向人工节点的边为e。将人工节点展开以后，e指向了一个环。假设原先e是指向u的，这个时候我们将环上指向u的边 in[u]删除，这样就得到了原图中的一个树形图。我们会发现，如果新图中e的权w'(e)是原图中e的权w(e)减去in[u]权的话，那么在我们删除掉in[u]，并且将e恢复为原图状态的时候，这个树形图的权仍然是新图树形图的权加环的权，而这个权值正是最小树形图的权值。所以在展开节点之后，我们得到的仍然是最小树形图。逐步展开所有的人工节点，就会得到初始图的最小树形图了。

流程如下图：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <string>
typedef long long LL;
using namespace std;
const int MAXV = 100;
const int MAXE = 10000;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

//求具有V个点,以root为根节点的图map的最小树形图
int zhuliu(int root, int V, int map[MAXV + 7][MAXV + 7]){
    bool visited[MAXV + 7];
    bool flag[MAXV + 7];//缩点标记为true,否则仍然存在
    int pre[MAXV + 7];//点i的父节点为pre[i]
    int sum = 0;//最小树形图的权值
    int i, j, k;
    for(i = 0; i <= V; i++) flag[i] = false, map[i][i] = INF;
    pre[root] = root;
    while(true){
        for(i = 1; i <= V; i++){//求最短弧集合E0
            if(flag[i] || i == root) continue;
            pre[i] = i;
            for(j = 1; j <= V; j++)
                if(!flag[j] && map[j][i] < map[pre[i]][i])
                    pre[i] = j;
            if(pre[i] == i) return -1;
        }
        for(i = 1; i <= V; i++){//检查E0
            if(flag[i] || i == root) continue;
            for(j = 1; j <= V; j++) visited[j] = false;
            visited[root] = true;
            j = i;//从当前点开始找环
            do{
                visited[j] = true;
                j = pre[j];
            }while(!visited[j]);
            if(j == root)continue;//没找到环
            i = j;//收缩G中的有向环
            do{//将整个环的取值保存,累计计入原图的最小树形图
                sum += map[pre[j]][j];
                j = pre[j];
            }while(j != i);
            j = i;
            do{//对于环上的点有关的边,修改其权值
                for(k = 1; k <= V; k++)
                    if(!flag[k] && map[k][j] < INF && k != pre[j])
                        map[k][j] -= map[pre[j]][j];
                j = pre[j];
            }while(j != i);
            for(j = 1; j <= V; j++){//缩点,将整个环缩成i号点,所有与环上的点有关的边转移到点i
                if(j == i) continue;
                for(k = pre[i]; k != i; k = pre[k]){
                    if(map[k][j] < map[i][j]) map[i][j] = map[k][j];
                    if(map[j][k] < map[j][i]) map[j][i] = map[j][k];
                }
            }
            for(j = pre[i]; j != i; j = pre[j]) flag[j] = true;//标记环上其他点为被缩掉
            break;//当前环缩点结束,形成新的图G',跳出继续求G'的最小树形图
        }
        if(i > V){//如果所有的点都被检查且没有环存在,现在的最短弧集合E0就是最小树形图.累计计入sum,算法结束
            for(i = 1; i <= V; i++)
                if(!flag[i] && i != root) sum += map[pre[i]][i];
            break;
        }
    }
    return sum;
}