曲线积分可以分为两类:
- 对弧长的曲线积分
- 对坐标的曲线积分
我们分别介绍
对弧长的曲线积分
对弧长曲线积分的现实(物理)含义:弧长 × 物理量 = 对弧长曲线积分值;
举例说明:
- 计算曲型物体质量:弧长 × 线密度 = 曲型物体质量
对弧长曲线积分的定义式:
∫Lf(x,y)ds
其中
f(x,y)
叫做被积函数;
L
叫做积分弧段,即被积分的弧长区域
对弧长的曲线积分的计算法:
将弧
L
转换为参数方程形式:
{x=ϕ(t)y=ζ(t),(α⩽t⩽β)
带入定义式可得:
∫Lf(x,y)ds=∫βαf[ϕ(t),ζ(i)][ϕ′(t)]2+[ζ′(t)]2−−−−−−−−−−−−−√dt
需要注意的是:在对弧长的曲线积分中,
积分下限一定要小于积分上限
对坐标的曲线积分
对坐标曲线积分的现实(物理)含义:弧长 × 矢量 = 对坐标曲线积分值;
举例说明:
- 力沿弧形路径前进所做的功:路径弧长 × 力 = 对坐标积分值
由对坐标曲线积分的物理含义可以看出,因为这个曲线积分是对矢量的积分,通常情况下需要借助坐标系来把矢量分解为
x
、
y
两个方向,所以叫做对坐标的曲线积分。
对坐标曲线积分的定义式:
X方向上力做的功:∫LP(x,y)dx
Y方向上力做的功:∫LQ(x,y)dy
合力做的功:∫LF(x,y)dr=∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy
对坐标曲线积分的计算法:
①将弧
L
转换为参数方程形式:
{x=ϕ(t)y=ζ(t),(α⩽t⩽β)
当参数
t
单调地由
α
变到
β
时,力的作用点由起点逐渐变到终点
将参数方程带入定义式可得:
∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫βα{P[ϕ(t),ζ(t)]ϕ′(t)+Q[ϕ(t),ζ(t)]ζ′(t)}dt
②若给出L的参数方程为
y=ϕ(x)
或
x=ζ(y)
。
例如:
1、当给出
y=ϕ(x)
,则有:
∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫ba{P[x,ϕ(x)]+Q[x,ϕ(x)]ϕ′(x)}dx
其中下限
a
表示
L
的起点对应的
x
坐标,上限
b
表示
L
的终点对应的
x
坐标
2、当给出
x=ϕ(y)
,则有:
∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫dc{P[ζ(y),y]ζ′(y)+Q[ζ(y),y]}dy
其中下限
c
表示
L
的起点对应的
y
坐标,上限
d
表示
L
的终点对应的
y
坐标
要注意的是:在对坐标的曲线积分中,积分下限对应的是L的起点的x/y坐标,积分上限对应的是L的终点的x/y坐标
两类曲线积分之间的联系
在平面曲线弧L上,两类曲线积分有如下关系:
∫L(Pcosα+Qcosβ)ds=∫LPdx+Qdy
cosα、cosβ
为有向弧L在点
(ϕ(t),ζ(t)),即(x,y)
上的切向量分别对
x、y
方向上的方向余弦