题目描述

给出正整数 $n$ 和 $k$，计算 $(k\mod1)+(k\mod2)+(k\mod3)+…+(k\mod n)$ 的值。$1≤n,k≤10^9$。

算法分析

将取模运算变换形式：$k\mod i=k-\lfloor\frac{k}{i}\rfloor\times i$，则 $\sum_{i=1}^nk\mod i=n\times k\times\sum_{i=1}^n\lfloor\frac{k}{i}\rfloor\times i$。

注意到随着 $i$ 的递增，$\lfloor\frac{k}{i}\rfloor$ 的值递减，而且有一段部分相同，可以证明不同的 $\lfloor\frac{k}{i}\rfloor$ 值有 $O(\sqrt k)$ 种，考虑将这一部分一次性单独处理。

可以 $O(1)$ 计算出以 $i$ 为起点的相同部分的终点 $min\{n,\frac{k}{\lfloor\frac{k}{i}\rfloor}\}$，注意当分母 $\lfloor\frac{k}{i}\rfloor=0$ 时会出错，这时应当特判终点为 $n$，还有后面乘 $i$ 的部分直接使用等差数列公式求解即可，时间复杂度 $O(\sqrt k)$。

实现代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
typedef long long int ll;
int main() {
    ll n,k;
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    ll ans=n*k;
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        ll end=k/i==0?n:std::min(n,k/(k/i));
        ans-=(k/i)*(i+end)*(end-i+1)/2;
        i=end;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}