测试地址：Kanade’s Convolution
题目大意：给定两个长为$2^m(m\le 19)$的向量$A,B$，计算向量$C$，其中：

$$C_k=\sum_{i\space and\space j=k}A_{i\space xor\space j}\cdot B_{i\space or\space j}$$
做法：本题需要用到FWT。
看到这种类似卷积的东西，又是关于位运算，自然想到FWT。但是这个式子看上去实在复杂，三种位运算都有，貌似不可算，所以我们先化一下式子：
首先我们根据位运算的定义，有： $(i\space and\space j)+(i\space xor\space j)=i\space or\space j$。于是我们把枚举 $i,j$改成枚举 $x=i\space or\space j,y=i\space xor\space j$，那么条件 $i\space and\space j=k$就变成了 $x-y=k$，根据 $x,y$之间的特殊关系，减号可以换成 $xor$。在这种情况下，需要有一个约束条件使得存在一些与一对 $x,y$对应的 $i,j$，这个约束条件为 $x\space and\space y=y$。又根据一些二进制位的关系可以得出，一对这样的 $x,y$所对应的 $i,j$对数为 $2^{bit(y)}$，其中 $bit(y)$指 $y$的二进制位数。这样我们就把式子化成了下面的形式：
$$C_k=\sum_{x\space xor\space y=k}[x\space and\space y=y]\cdot B_x\cdot A_y\cdot 2^{bit(y)}$$
这时候这个式子已经很有卷积的感觉了，关键是方括号内的部分怎么处理。这时候我们需要把条件换成另一个等价的条件。当 $x\space xor\space y=k$时， $x\space and\space y=y$和 $bit(x)-bit(y)=bit(k)$是等价的，证明还是从 $x,y$间的特殊关系着手。于是式子变成：
$$C_k=\sum_{x\space xor\space y=k}[bit(x)-bit(y)=bit(k)]\cdot B_x\cdot A_y\cdot 2^{bit(y)}$$
令向量 $F(A,k)_i=[bit(i)=k]\cdot A_i$（实际上就是把 $bit(i)$为 $k$的所有 $A_i$单独抽出来），再令 $A'_i=A_i\cdot 2^{bit(i)}$，有：
$F(C,k)=\sum_{i=k}^mF(B,i)\cdot F(A',i-k)$
根据FWT得出的点值表示的性质，这些东西可以通过FWT后，直接对位相加、乘来计算，最后再把这一大堆进行逆FWT即可。
注意到 $C_k=F(C,bit(k))_k$，于是我们只需按照上面的方法计算出 $F(C,i)$即可解决此题，时间复杂度为 $O(m^22^m)$。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const ll inv=(mod+1)>>1;
int m,n,bit[600010];
ll a[600010],b[600010];
ll A[20][600010]={0},B[20][600010]={0},C[20][600010]={0};

void FWT(ll *a,int n,int type)
{
    for(int mid=1;mid<n;mid<<=1)
        for(int l=0;l<n;l+=(mid<<1))
            for(int k=0;k<mid;k++)
            {
                ll x=a[l+k],y=a[l+mid+k];
                a[l+k]=(x+y)%mod;
                a[l+mid+k]=(x-y+mod)%mod;
                if (type==-1)
                {
                    a[l+k]=a[l+k]*inv%mod;
                    a[l+mid+k]=a[l+mid+k]*inv%mod;
                }
            }
}

int main()
{
    scanf("%d",&m);
    n=(1<<m);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%lld",&a[i]);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%lld",&b[i]);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        bit[i]=0;
        int x=i;
        while(x)
        {
            if (x&1) bit[i]++;
            x>>=1;
        }
    }

    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        A[bit[i]][i]=a[i]*(1ll<<bit[i])%mod;
        B[bit[i]][i]=b[i];
    }
    for(int i=0;i<=m;i++)
        FWT(A[i],n,1),FWT(B[i],n,1);
    for(int i=0;i<=m;i++)
        for(int j=0;j+i<=m;j++)
        {
            int k=j+i;
            for(int p=0;p<n;p++)
                C[i][p]=(C[i][p]+A[j][p]*B[k][p])%mod;
        }
    for(int i=0;i<=m;i++)
        FWT(C[i],n,-1);

    ll now=1,ans=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        ans=(ans+C[bit[i]][i]*now)%mod;
        now=now*1526ll%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);

    return 0;
}