阿基米德性质（Archimedean property）是实数系统很重要的性质。可以证明它与确界原理等价。换句话说，在三大公理的公理1和公理2成立的条件下，由阿基米德性质，可以推导出确界原理。这个结论的证明，留待日后解决。本文将介绍由确界原理到阿基米德性质的推导过程，并由此导出有理数集在实数集上的稠密性，以及确界的唯一性。
定理. （阿基米德性质）任意的实数a>0和都存在正整数n使得
。
证明. 我们用反证法。假设阿基米德性质不成立。那么a是集合的上界。由确界原理，集合S有上确界，记为c。这样，由上界的定义有
对所有的正整数n成立。但是，由上确界的定义，对于
存在自然数n'使得
，也即
。然而
，这与c是S的上界矛盾。证毕。
由阿基米德性质，可以推导出有理数域在实数域上的稠密性。要给出精确的稠密性的定义，需要引入开集的概念，本文暂且不说。但是，稠密性的直观理解是，任何两个实数之间，都存在有理数。这个结论太重要了。我们知道实数是不可数的，有理数集是可数的。不可数集的元素个数要比可数集多得多。有理数集是实数集的稠密集，就意味着我们可以用一个可数集去无限逼近不可数集。更进一步，如果一个实数子集有界（既有上界又有下界），我们可以用有限个有理数逼近（逼近的精度取决于有理数的个数），这就是大名鼎鼎的有限开覆盖定理。
命题. （有理数稠密性）任意的y>x>0，都存在有理数p/q使得y>p/q>x。
证明. 令阿基米德性质中a=1,，则有正整数q满足q(y-x) > 1，或者y-x>1/q。
又令阿基米德性质中a=x，。则存在正整数p满足p/q>x。令p是满足p/q>x的最小正整数（更确切地说，p是集合{p': p'/q>x}的下确界），那么有p/q满足y>p/q>x。证毕。