$f(n,m)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(gcd(i,j)==k)$

$=\sum_{i=1}^{\frac{n}{k}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{k}}(gcd(i,j)==1)$

$=\sum_{i=1}^{\frac{n}{k}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{k}}\sum_{d|i,d|j}μ(d)$

$=\sum_{d|i,d|j}μ(d)\sum_{i=1}^{\frac{n}{k}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{k}}$

$=\sum_{d=1}^{min(\frac{n}{k},\frac{m}{k})}μ(d)\sum_{i=1}^{\frac{n}{dk}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{dk}}$

$=\sum_{d=1}^{min(\frac{n}{k},\frac{m}{k})}μ(d)⌊\frac{n}{dk}⌋*⌊\frac{m}{dk}⌋$

$Ans=f(b,d)+f(a-1,c-1)-f(a-1,b)-f(b,c-1)$

由于直接计算$f$时间复杂度仍然高，但是结合$μ(d)$的性质我们发现其实可以对$μ(d)$做一个前缀和优化一下。

void Mobius(){
    ......
}
LL GetAns(LL N,LL M,LL K){
    LL I,Ans=0,Last;
    N/=K,M/=K;
    if(N>M){
        swap(N,M);
    }
    for(I=1;I<=N;I=Last+1){
        Last=min(N/(N/I),M/(M/I));
        Ans+=(Miu[J]-Miu[I-1])*(N/I)*(M/I);
    }
    return Ans;
}
int main(){
    LL I,J,K;
    N=Read();Mobius();
    for(I=1;I<=N;I++){
        A=Read(),B=Read(),C=Read(),D=Read(),K=Read();
        Ans=GetAns(B,D,K)-GetAns(A-1,D,K)-GetAns(B,C-1,K)+GetAns(A-1,C-1,K);
        ......
    }   
    return 0;
}