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描述
给定n个1到9的数字,要求在数字之间摆放m个加号(加号两边必须有数字),使得所得到的加法表达式的值最小,并输出该值。例如,在1234中摆放1个加号,最好的摆法就是12+34,和为36
输入
有不超过15组数据
每组数据两行。第一行是整数m,表示有m个加号要放( 0<=m<=50)
第二行是若干个数字。数字总数n不超过50,且 m <= n-1
输出
对每组数据,输出最小加法表达式的值
样例输入
2
123456
1
123456
4
12345
样例输出
102
579
15
提示
要用到高精度计算,即用数组来存放long long 都装不下的大整数,并用模拟列竖式的办法进行大整数的加法。
解题分析
假定数字串长度为n,添加完加号后,表达式的最后一个加号添加在第i个数字后面,那么整个表达式的最小值,就等于在前i个数字中插入m-1个加号所能形成的最小值,加上第i+1到第n个数字所组成的数的值(i从1开始算)。
设V(m,n)表示在n个数字中插入m个加号所能形成的表达式最小值,那么:
if(m==0)
V(m,n)=Num(1,n);
else if(n-1 < m)
V(m,n)=
else
V(m,n)=min(V(m-1,i)+Num(i+1,n))(i=m…n-1);
Num(i,j)表示从第i个数字到第j个数字所组成的数。数字编号从1开始算。此操作复杂度为O(j-i+1),可以预处理后存起来。
因为每个状态由m,n决定,总的状态数即mn,乘计算每个状态所需时间为O(n),得总时间复杂度:O(m
若n比较大,long long不够存放运算过程中的整数,则需要使用高精度计算(用数组存放大整数,模拟列竖式做加法),复杂度为O(m
AC代码
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
using namespace std;
struct BigInt{
int num[110];
int len;
BigInt operator+(const BigInt &n){
//重载+,使得a+b在a,b都是BigInt变量的时候能成立
int ml=max(len,n.len);
int carry=0;//进位
BigInt result;
for(int i=0;i<ml;++i){
result.num[i]=num[i]+n.num[i]+carry;
if(result.num[i]>=10){
carry=1;
result.num[i]-=10;
}
else
carry=0;
}
if(carry==1){
result.len=ml+1;
result.num[ml]=1;
}
else
result.len=ml;
return result;
}
bool operator<(const BigInt &n){
if(len>n.len)
return false;
else if(len<n.len)
return true;
else{
for(int i=len-1;i>=0;--i){
if(num[i]<n.num[i])
return true;
else if(num[i]>n.num[i])
return false;
}
return false;
}
}
BigInt(){
len=1;
memset(num,0,sizeof(num));
}
BigInt(const char *n,int L){
//由长度为L的char数组构造大整数,n里面的元素取值范围从1到9。
memset(num,0,sizeof(num));
len=L;
for(int i=0;n[i];++i)
num[len-i-1]=n[i]-'0';
}
};
ostream &operator<<(ostream &o,const BigInt &n)
{
for(int i=n.len-1;i>=0;--i)
o<<n.num[i];
return o;
}
const int MAXN=60;
char a[MAXN];
BigInt Num[MAXN][MAXN];//Num[i][j]表示从第i个数字到第j个数字所构成的整数
BigInt V[MAXN][MAXN];//V[i][j]表示i个加号放到前j个数字中间,所能得到的最佳表达式的值
int main()
{
int m,n;
BigInt inf;//无穷大
inf.num[MAXN-2]=1;
inf.len=MAXN-1;
while(cin>>m){
cin>>a+1;
n=strlen(a+1);
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=i;j<=n;++j)
Num[i][j]=BigInt(a+i,j-i+1);
for(int j=1;j<=n;++j)
V[0][j]=BigInt(a+1,j);
for(int i=1;i<=m;++i){
for(int j=1;j<=n;++j){
if(j-1<i)
V[i][j]=inf;
else{
BigInt tmpMin=inf;
for(int k=i;k<j;++k){
BigInt tmp=V[i-1][k]+Num[k+1][j];
if(tmp<tmpMin)
tmpMin=tmp;
}
V[i][j]=tmpMin;
}
}
}
cout<<V[m][n]<<endl;
}
return 0;
}