题目描述

求关于 $x$ 的同余方程 $ax\equiv1(\mod b)$ 的最小正整数解.

算法分析

将同余方程转化为二元一次方程的形式，即由 $ax\equiv1(\mod b)$ 转化为 $ax-by=1$。

使用扩展欧几里得算法求解：

当 $b=0$ 时要满足 $ax-by=gcd(a,b)$，可得 $x=1,y=0$。

当 $b≠0$ 时，$bx_0+(a\mod b)y_0=gcd(b,a\mod b)$，将 $a\mod b$ 用 $a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b$ 表示得到 $bx_0+(a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b)y_0=gcd(b,a\mod b)$，化简得 $ay_0+b(x_0-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times y_0)=gcd(b,a\mod b)$，则 $x=y_0,y=x_0-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times y_0$，以此递归即可。

实现时可将 $x,y$ 的调用位置互换，以不必使用格外的临时变量。

代码实现

#include <cstdio>
typedef long long int ll;
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {
    if(b==0) {x=1;y=0;}
    else {
        exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=a/b*x;
    }
}
int main() {
    ll a,b;scanf("%lld%lld",&a,&b);
    ll x,y;exgcd(a,b,x,y);
    printf("%lld\n",(x%b+b)%b);
    return 0;
}