对于一个下三角矩阵矩阵我们可以非常容易地利用消元的方式求解。
线性方程
$$\begin{bmatrix}a_{11} & 0 &. &. &. &0 \\
a_{21} &a_{22} &. &. &. & 0\\
.& .& .& & & .\\
.& .& & .& & .\\
.& .& & & .&. \\
a_{m1}&a_{m2} &a_{m3} &. &. &a_{mm}
\end{bmatrix}\
\begin{bmatrix}
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}\\
x_{6}\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}\\
b_{4}\\
b_{5}\\
b_{6}
\end{bmatrix}$$
我们将其重写为等式
$$
a_{11}x_{1}=b_{1}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2}\\
a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{3}\\
.\\
.\\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mm}x_{m}=b_{m}\\$$
对于第一个等式,我们可以解得\(x_{1}=\frac{b_{1}}{a_{11}}\)
对于第二个等式,我们有\(x_{2}=\frac{b_{2}-a_{21}x_{1}}{a_{22}},代入x_{1}\)可以解得\(x_{2}\)
对于第三个等式,我们有\(x_{3}=\frac{b_{3}-(a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2})}{a_{33}}\),代入\(x_{1}\),\(x_{2}\)可以解得\(x_{3}\)
如此重复以上,我们可以得到一般的递推解$$x_{m}=\frac{b_{m}-\sum_{i=1}^{m-1}a_{mi}x_{i}}{a_{mm}}$$
利用计算机,我们可以在\(O(N^2)\)的时间内求解,以下给出其核心程序
VecX[0] = VecB[0] / MatA[0][0];
for (i = 1; i < Row; i++)
{
for (j = 0; j < i; j++)
sum += MatA[i][j] * VecX[j];
VecX[i] = (VecB[i] - sum) / MatA[i][i];
sum = 0;
}