康托展开的用法:
有一个以元素{1,2,...,n}为排列元素的全排列
1.给定一个全排列序列,求该序列是所有全排列序列中字典序第几的序列
2.(逆用)给定全排列大小n,字典序k,求字典序为k的排列
在信息学竞赛中的作用:
1.获取排列的id,构建hash表
2.计算关于排列序列的问题(如:NOIP普及组2004火星人)
3.etc.
讲解:
(想要更好的理解下面的讲解,请保证你已经学习了关于排列组合的基本知识)
用法1:
例如:给定n=4,序列:3214,求该排列字典序
解法一:
首先1234的字典序为1,1243字典序为2,以此类推
a.所以我们可以用c++STL中的next_permutation函数(下一个排列函数)来暴力从1234开始不断求下一个排列,直到达到目标状态
b.我们还可以对3214用pre_permutation(前一个排列函数)
解法二(康托展开):
第一位为3,则当第一位为1,2时生成的排列比目标排列小,有所以2*3!种;
第二位为2,当第二位为1是生成的排列更小,有1*2!种;
第三位为1,没有比1更小的排列方法,有0*1!种
第四位为4,由于1,2,3,在前面已经使用了,使用没有比4更小的了,有0*0!种
使用总共有2*3!+1*2!+0*1!+0*0!=14种排列方法比目标排列字典序小,则目标排列字典序为15(不要忘记加一)
公式:
其中k[i]表示对于第i位的a[i],a[i+1]到a[n]种比a[i]小的数字的个数
代码实现:
cin>>n;
fac[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)//预处理阶乘
fac[i]=fac[i-1]*i;
int ans=1;//注意
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
for(int i=1;i<=n;i++){
int k=0;//统计比a[i]小且没有用过的数字
for(int j=i+1;j<=n;j++) if(a[j]<a[i]) k++;
ans+=k*fac[n-i];
}
cout<<ans;
用法二(逆用):
例子:求有4位的全排列中,字典序序数为15的序列
如1234的字典序序数为1
方法一:我们还是可以用next_permutation
方法二(康托展开逆运算):
先把15减1,表示有14个排列比目标序列字典序小
考虑第一位:14 / 3! = 2 ... ... 2 说明比第一位小的数有2个(算式第一个2表示的意义),所以第一位为3
考虑第二位:2 / 2! = 1 ... ... 0 说明在第二位之后且小于第二位的数有1个,所以第二位为:2
考虑第三位: 0 / 1! = 0 ... ... 0 说明在第三位之后且小于第三位的数没有,所以第三位为:1
考虑第四位:1,2,3,都使用了所以为4
代码实现:
bool vis[maxn];//表示数字是否使用了
memset(vis,0,sizeof(vis));
cin>>n>>k;
fac[0]=1;
for(int i=1;i<n;i++)//预处理阶乘
fac[i]=fac[i-1]*i;
k--;//注意
int q,j,cnt;
for(int i=1;i<=n;i++){
q=k/fac[n-i];
k=k%fac[n-i];
cnt=0;
for(j=1;;j++){
if(!vis[j]) cnt++;//统计
if(cnt>q) break;
}
a[i]=j;
vis[j]=true;
}
for(int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i]<<' ';