定义
矩阵的迹运算是对矩阵对角线上的元素进行求和,即
Tr(A)=∑iAi,i
用途
一个是,使得很多矩阵运算变得易于描述,比如
- 矩阵的 Fronenius 范数 可以表示为
∥A∥F=Tr(AAT)−−−−−−−−√
- 用迹运算来构造有用的等式,例如
Tr(A)=Tr(AT)
性质
多个矩阵的乘积的迹,和将这些矩阵中最后一个挪到最前面之后的乘积的迹是相同的。当然,这要在保证挪动之后矩阵乘积依旧定义良好
Tr(ABC)=Tr(CAB)=Tr(BCA)
.或者更一般的表达为
Tr(∏i=1nF(i))=Tr(F(n)∏i=1n−1Fi)
, 这说明循环置换后乘积的结果矩阵虽然形状变了,但是迹运算的结果是不变的。
- 还有一个好玩儿的,标量可以看做 1 x 1 的矩阵,迹运算之后还是它本身
a=Tr(a)
.