【题意】
原题地址
题目大意:见分析。
【解题思路】
显然是反演,然而我的做法和网上题解完全不一样- -,使得我心态爆炸了很久。
题目相当于求
,开始推柿子。
lcm转化为gcd(跳了一步)
疯狂改变枚举顺序
我们设
那么上面的柿子可以化成
我们发现现在还是求不了答案,于是设
使劲化:
设
,观察柿子我们可以发现:
设
,我们可以发现:
接下来的问题是求
,两个都是积性函数,因为前缀和比较大,考虑用杜教筛。
对于
那么卷上一个
,得到的实际上就是一个
将
的情况移过去,得到:
即
类似,然后就没了。
【参考代码】
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=5e6+10;
const int mod=1e9+7;
const LL inv2=500000004,inv6=166666668;
map<int,LL>mps,mpg;
int pnum,l,r;
int bo[N],pri[N];
LL s[N],g[N];
void init()
{
s[1]=g[1]=1;
for(int i=2;i<N;++i)
{
if(!bo[i]) pri[++pnum]=i,s[i]=-i,g[i]=(s[i]+s[1])%mod;
for(int j=1;j<=pnum && i*pri[j]<N;++j)
{
bo[i*pri[j]]=1;
if(!(i%pri[j]))
{
g[i*pri[j]]=g[i];
break;
}
s[i*pri[j]]=s[i]*s[pri[j]]%mod;;
g[i*pri[j]]=g[i]*g[pri[j]]%mod;
}
}
for(int i=2;i<N;++i) (((s[i]+=s[i-1])%mod+mod)%mod);
for(int i=2;i<N;++i) (((g[i]+=g[i-1])%mod+mod)%mod);
}
LL calcs(int x)
{
if(x<N) return s[x];
if(mps[x]) return mps[x];
LL res=1;
for(int i=2,las;i<=x;i=las+1)
{
las=x/(x/i);
(res-=(LL)(1ll*las*(las+1)/2%mod-1ll*i*(i-1)/2%mod)*calcs(x/i)%mod)%=mod;
}
(res+=mod)%=mod;
return mps[x]=res;
}
LL calcg(int x)
{
if(x<N) return g[x];
if(mpg[x]) return mpg[x];
LL res=0;
for(int i=1,las;i<=x;i=las+1)
{
las=x/(x/i);
(res+=1ll*(las-i+1)*calcs(x/i)%mod)%=mod;
}
return mpg[x]=res;
}
LL calcf(int x)
{
LL res=1ll*x*(x+1)%mod*(x*2+1)%mod*inv6%mod+1ll*x*(x+1)/2%mod;
return res%mod;
}
LL calc(int x)
{
LL res=0;
for(int i=1,las;i<=x;i=las+1)
{
las=x/(x/i);
(res+=(calcg(las)-calcg(i-1))*calcf(x/i)%mod+mod)%=mod;
}
return res*inv2%mod;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("51Nod1227.in","r",stdin);
freopen("51Nod1227.out","w",stdout);
#endif
init();
scanf("%d%d",&l,&r);
printf("%d\n",(calc(r)-calc(l-1)+mod)%mod);
return 0;
}
【总结】
嗯,我们要多记住一些函数的性质,就不用像我一样推这么久了,直接用
的性质就很好做,我这里最后一步还是侥幸化出一个积性函数的东西才搞掉的- -。
而且这个做法杜教筛套杜教筛,十分不优美- -。