题目描述
在2016年,佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数,非常开心。
现在他想计算这样一个函数的值:
表示第二类斯特林数,递推公式为:
。
边界条件为:
你能帮帮他吗?
输入输出格式
输入格式:
输入只有一个正整数
输出格式:
输出
。由于结果会很大,输出
对
取模的结果即可。
输入输出样例
输入样例#1:
3
输出样例#1:
87
说明
对于50%数据
对于100%数据
分析:
显然就是推式子了。
其中,第二类斯特林数的通项公式为
证明使用生成函数,至于记的话,可以记住只有 的指数是 ,其他全是 和 。
所以,
显然是一个卷积的形式,直接任意模数fft即可。
代码:
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long
const LL p=998244353;
const int maxn=300007;
const double pi=acos(-1);
using namespace std;
struct rec{
double x,y;
};
rec operator +(rec a,rec b)
{
return (rec){a.x+b.x,a.y+b.y};
}
rec operator -(rec a,rec b)
{
return (rec){a.x-b.x,a.y-b.y};
}
rec operator *(rec a,rec b)
{
return (rec){a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x};
}
rec operator !(rec a)
{
return (rec){a.x,-a.y};
}
LL n,ans,len;
rec a[maxn],b[maxn],w[maxn],dfta[maxn],dftb[maxn],dftc[maxn],dftd[maxn];
LL bit[maxn],jc[maxn],inv[maxn],f[maxn],g[maxn],r[maxn];
LL power(LL x,LL y)
{
if (y==1) return x;
LL c=power(x,y/2);
c=(c*c)%p;
if (y%2) c=(c*x)%p;
return c;
}
void fft(rec *a,LL f)
{
for (LL i=0;i<len;i++)
{
if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
}
w[0]=(rec){1,0};
for (LL i=2;i<=len;i*=2)
{
rec wn=(rec){cos(2*pi/i),f*sin(2*pi/i)};
for (LL j=i/2;j>=0;j-=2) w[j]=w[j/2];
for (LL j=1;j<i/2;j+=2) w[j]=w[j-1]*wn;
for (LL j=0;j<len;j+=i)
{
for (LL k=0;k<i/2;k++)
{
rec u=a[j+k],v=a[j+k+i/2]*w[k];
a[j+k]=u+v;
a[j+k+i/2]=u-v;
}
}
}
}
void init(LL len)
{
LL k=trunc(log(len+0.5)/log(2));
for (LL i=0;i<len;i++)
{
r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));
}
}
void FFT(LL *x,LL *y,LL *z,LL n,LL m)
{
len=1;
while (len<(n+m-1)) len*=2;
init(len);
for (LL i=0;i<len;i++)
{
LL A,B;
if (i<n) A=x[i]%p; else A=0;
if (i<m) B=y[i]%p; else B=0;
a[i]=(rec){A>>15,A&32767};
b[i]=(rec){B>>15,B&32767};
}
fft(a,1); fft(b,1);
for (LL i=0;i<len;i++)
{
LL j=(len-i)&(len-1);
rec da,db,dc,dd;
da=(a[i]+(!a[j]))*(rec){0.5,0};
db=(a[i]-(!a[j]))*(rec){0,-0.5};
dc=(b[i]+(!b[j]))*(rec){0.5,0};
dd=(b[i]-(!b[j]))*(rec){0,-0.5};
dfta[i]=da*dc;
dftb[i]=da*dd;
dftc[i]=db*dc;
dftd[i]=db*dd;
}
for (LL i=0;i<len;i++)
{
a[i]=dfta[i]+dftb[i]*(rec){0,1};
b[i]=dftc[i]+dftd[i]*(rec){0,1};
}
fft(a,-1); fft(b,-1);
for (LL i=0;i<len;i++)
{
LL da,db,dc,dd;
da=(LL)(a[i].x/len+0.5)%p;
db=(LL)(a[i].y/len+0.5)%p;
dc=(LL)(b[i].x/len+0.5)%p;
dd=(LL)(b[i].y/len+0.5)%p;
z[i]=((da<<30)%p+((db+dc)<<15)%p+dd)%p;
}
}
int main()
{
scanf("%lld",&n);
bit[0]=1; jc[0]=1;
for (LL i=1;i<=n;i++)
{
bit[i]=(bit[i-1]*2)%p;
jc[i]=(jc[i-1]*i)%p;
}
inv[n]=power(jc[n],p-2);
for (LL i=n;i>0;i--) inv[i-1]=(inv[i]*i)%p;
g[0]=1; f[0]=1;
for (LL i=1;i<=n;i++)
{
if (i%2) f[i]=(p-1)*inv[i]%p;
else f[i]=inv[i];
g[i]=(power(i,n+1)+p-1)%p*power(i-1,p-2)%p*inv[i]%p;
}
g[1]=n+1;
FFT(f,g,f,n+1,n+1);
for (LL i=0;i<=n;i++) ans=(ans+bit[i]*jc[i]%p*f[i]%p)%p;
printf("%lld",ans);
}