题目大意:
对于正整数序列
,定义序列
:
其中
为位或运算。
每一个序列合法,满足对于
,有
;而且对于
,有
。
给出
,
,求合法序列数。
分析:
调了两天,原来是当
很大时,单位复根要用数组记录。(好像暴露了算法)
由于可能有冲突,以下均用
来代替题目中的
。
要想
严格单调,显然插入的这个数至少有一个位置是
,而之前全部数该位置都是
。
这样就说明了,当
时,无解。
首先考虑dp,设
为取了
个数,其中有
个位置是
的方案数,这里不考虑
的位置。
那么答案就是
,可以理解为从
位选出
位是
的所有方案乘上
,还是要记住
的定义。
可以这样转移:
其中, 表示从 个 中哪 个位置前面已经占用,而 表示能填的数的个数。显然,那已经占用的 的位置可以填 或 ,其他新占用位置只能填 ,未占用只能填 。于是得到了一个 的算法。
我们考虑优化,先把组合数拆出来,有
这是一个卷积形式,用 加速。复杂度为 。
我们发现只从 转移有点慢,于是我们考虑快速转移,把式子写成这样,
这样我们就可以把第 个多项式和第 个多项式卷积就是第 个多项式了,直接快速幂就好了。
代码:
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long
using namespace std;
const LL maxk=70007;
const LL p=1e9+7;
const double pi=acos(-1);
LL n,m,len;
LL f[maxk],f1[maxk];
LL jc[maxk],r[maxk],inv[maxk],bit[maxk];
struct rec{
double x,y;
};
rec operator +(rec x,rec y)
{
return (rec){x.x+y.x,x.y+y.y};
}
rec operator -(rec x,rec y)
{
return (rec){x.x-y.x,x.y-y.y};
}
rec operator *(rec x,rec y)
{
return (rec){x.x*y.x-x.y*y.y,x.x*y.y+x.y*y.x};
}
rec operator /(rec x,LL y)
{
return (rec){x.x/(double)y,x.y/(double)y};
}
rec operator !(rec x)
{
return (rec){x.x,-x.y};
}
rec dfta[maxk],dftb[maxk],dftc[maxk],dftd[maxk];
rec a[maxk],b[maxk],w[maxk];
void init(LL len)
{
LL k=trunc(log(len+0.5)/log(2));
for (LL i=0;i<len;i++)
{
r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));
}
}
void fft(rec *a,LL f)
{
for (LL i=0;i<len;i++)
{
if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
}
w[0]=(rec){1,0};
for (LL i=2;i<=len;i*=2)
{
rec wn=(rec){cos(2*pi/i),f*sin(2*pi/i)};
for(LL j=i/2;j>=0;j-=2)w[j]=w[j/2];
for(LL j=1;j<i/2;j+=2)w[j]=w[j-1]*wn;
for (LL j=0;j<len;j+=i)
{
//rec w=(rec){1,0};
for (LL k=0;k<i/2;k++)
{
rec v=w[k]*a[j+k+i/2];
a[j+k+i/2]=a[j+k]-v;
a[j+k]=a[j+k]+v;
// w=w*wn;
}
}
}
}
void FFT(LL *x, LL *y, LL *z,LL n,LL m)
{
len=1;
while (len<n+m) len*=2;
init(len);
for (LL i=0;i<len;i++)
{
LL A,B;
if (i<n) A=x[i]%p; else A=0;
if (i<m) B=y[i]%p; else B=0;
a[i]=(rec){A&32767,A>>15};
b[i]=(rec){B&32767,B>>15};
}
fft(a,1); fft(b,1);
for (LL i=0;i<len;i++)
{
LL j=(len-i)&(len-1);
rec da,db,dc,dd;
da=(a[i]+(!a[j]))*(rec){0.5,0};
db=(a[i]-(!a[j]))*(rec){0,-0.5};
dc=(b[i]+(!b[j]))*(rec){0.5,0};
dd=(b[i]-(!b[j]))*(rec){0,-0.5};
dfta[i]=da*dc;
dftb[i]=da*dd;
dftc[i]=db*dc;
dftd[i]=db*dd;
}
for (int i=0;i<len;i++)
{
a[i]=dfta[i]+dftb[i]*(rec){0,1};
b[i]=dftc[i]+dftd[i]*(rec){0,1};
}
fft(a,-1); fft(b,-1);
for (int i=0;i<n+m-1;i++)
{
LL da=(LL)(a[i].x/len+0.5)%p;
LL db=(LL)(a[i].y/len+0.5)%p;
LL dc=(LL)(b[i].x/len+0.5)%p;
LL dd=(LL)(b[i].y/len+0.5)%p;
z[i]=(da%p+(((db+dc)<<15)%p+(dd<<30)%p)%p)%p;
}
}
LL power(LL x,LL y)
{
if (y==1) return x;
LL c=power(x,y/2);
c=(c*c)%p;
if (y%2) c=(c*x)%p;
return c;
}
void solve(LL n,LL k)
{
if (n==1)
{
f[0]=0;
for (LL i=1;i<=k;i++) f[i]=1;
return;
}
solve(n/2,k);
for(LL i=1;i<=k;i++)
{
f[i]=(LL)f[i]*inv[i]%p;
f1[i]=(LL)f[i]*power(2,(n/2)*i%(p-1))%p;
}
FFT(f,f1,f,k+1,k+1);
if(n&1)
{
for(LL i=1;i<=k;i++)
{
f[i]=(LL)f[i]*bit[i]%p;
f1[i]=inv[i];
}
FFT(f,f1,f,k+1,k+1);
}
for (LL i=1;i<=k;i++)f[i]=(LL)f[i]*jc[i]%p;
}
LL binom(LL x,LL y)
{
if ((x<0) || (y<0) || (y>x)) return 0;
if ((x==0) || (y==x)) return 1;
return jc[x]*inv[y]%p*inv[x-y]%p;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
jc[0]=1; inv[0]=1; bit[0]=1;
for (LL i=1;i<=m;i++)
{
jc[i]=(jc[i-1]*i)%p;
bit[i]=(bit[i-1]*2)%p;
inv[i]=power(jc[i],p-2);
}
if (n>m)
{
printf("0");
return 0;
}
solve(n,m);
LL ans=0;
for(LL i=1;i<=m;i++)
ans=(ans+f[i]*binom(m,i)%p)%p;
printf("%lld",ans);
}