矩阵快速幂是用来求解递推式的,所以第一步先要列出递推式:
f(n)=f(n-1)+f(n-2)
第二步是建立矩阵递推式,找到转移矩阵:
,简写成T * A(n-1)=A(n),T矩阵就是那个2*2的常数矩阵,而
这里就是个矩阵乘法等式左边:1*f(n-1)+1*f(n-2)=f(n);1*f(n-1)+0*f(n-2)=f(n-1);
所以这里相乘就是矩阵n-1次相乘,然后输出第一行第二个元素,也就是a[0][1];
把第一个矩阵设为A,第二个矩阵设为B,第三个矩阵设为C。
(上述借鉴一位博主的,博客文章链接)
将上述的右乘矩阵中的f(n-1)和f(n-2)改为由f(n)和f(n-1)构成的矩阵,则两矩阵相乘后得到一个由f(n+1)和f(n)构成的矩阵,此时输出的为a[1][0]。
矩阵快速幂公式:
由 F2 F1 F1 F0 组成的矩阵的n次方 的左下角就是Fn。
更多矩阵乘法与矩阵快速幂的代码实现及解析请参考上一篇文章(文章链接)
基准时间限制:1 秒 空间限制:131072 KB 分值: 0 难度:基础题
斐波那契数列的定义如下:
F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) (n >= 2)
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...)
给出n,求F(n),由于结果很大,输出F(n) % 1000000009的结果即可。
Input
输入1个数n(1 <= n <= 10^18)。Output
输出F(n) % 1000000009的结果。Input示例
11Output示例
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代码实现(题目链接):
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+9;
const int N=2;
ll tmp[N][N],res[N][N];
void multi(ll a[][N],ll b[][N],int n)
{
memset(tmp,0,sizeof(tmp));
for(ll i=0;i<n;i++)
{
for(ll j=0;j<n;j++)
{
for(ll k=0;k<n;k++)
{
tmp[i][j]+=(a[i][k]*b[k][j])%mod;
}
tmp[i][j]=tmp[i][j]%mod;
}
}
for(ll i=0;i<n;i++)
for(ll j=0;j<n;j++)
a[i][j]=tmp[i][j];
}
void Pow(ll a[][N],ll m,int n)
{
memset(res,0,sizeof(res));//m是幂,n是矩阵大小
for(ll i=0;i<n;i++) res[i][i]=1;
while(m)
{
if(m&1)
multi(res,a,n);//res=res*a;复制直接在multi里面实现了;
multi(a,a,n);//a=a*a
m>>=1;
}
}
int main()
{
ll m;
int n;
ll a[N][N];
while(~scanf("%lld",&m))
{
n=2;
a[0][0]=1,a[0][1]=1,a[1][0]=1,a[1][1]=0;
Pow(a,m,n);
printf("%lld\n",res[1][0]);
}
return 0;
}