以题目为鉴，如何做数学笔记

在数学学习中我们少不了和例题打交道，认真学习例题，研究例题，咀嚼例题的一字一句，从例题中提炼方法、总结思路，对于提高我们自己的数学素养有很大的帮助，不过有些学生还是不太会例题的学习方法，不知道从哪些方面总结提炼，本博文试着做个示范，不妥之处，烦请告知。

一、例题样例

这是一道对许多学生而言都有难度的数学题目，使用到的方法比较多，有些思路我们不一定能想的到，以此题为例，我们来看看，如果做笔记对提高我们的数学素养更快一些。

已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图象经过点$(-2，0)$，且不等式$2x≤f(x)≤\cfrac{1}{2}{x}^{2}+2$对一切实数$x$都成立。
（Ⅰ）求函数$f(x)$的解析式；
（Ⅱ）若对任意$x∈[-1，1]$，不等式$f(x+t)＜f(\cfrac{x}{3})$恒成立，求实数$t$的取值范围．
【解析】：（Ⅰ）由题意得：$f(-2)=4a-2b+c=0①$，
因为不等式$2x≤f(x)≤\cfrac{1}{2}x^2+2$对一切实数$x$都成立，
令$x=2$，得：$4≤f(2)≤4$，所以$f(2)=4$，即$4a+2b+c=4②$
由①②解得：$b=1，且c=2-4a，$
所以$f(x)=ax^2+x+2-4a$，
由题意得：$f(x)-2x≥0$且$f(x)-\cfrac{1}{2}x^2-2≤0$对$x∈R$恒成立，
即$\begin{cases}ax^2-x+2-4a\ge 0③\\(a-\cfrac{1}{2})x^2+x-4a\leq 0 ④\end{cases}$对$x\in R$恒成立，
对③而言，由$a>0$且$\Delta =1-4a(2-4a)\leq 0$，
得到$(4a-1)^2\leq 0$，所以$a=\cfrac{1}{4}$，经检验满足④，
故函数$f(x)$的解析式为$f(x)=\cfrac{1}{4}x^2+x+1$。
（Ⅱ）【法一】：二次函数法，由题意，$f(x+t) < f(\cfrac{x}{3})$ 对$ x \in [-1，1]$恒成立，
可转化为$\cfrac{1}{4}(x+t)^2+(x+t)+1<\cfrac{1}{4}(\cfrac{x}{3})^2+\cfrac{x}{3}+1$对$x\in [-1，1]$恒成立，
整理为$8x^2+(18t+24)x+9t^2+36t<0$对$x\in [-1，1]$恒成立，
令$g(x)=8x^2+(18t+24)x+9t^2+36t$，则有$\begin{cases}g(-1)<0\\g(1)<0\end{cases}$，
即有$\begin{cases}9t^2+18t-16 <0\\9t^2+54t+32 < 0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}-\cfrac{8}{3}< t < \cfrac{2}{3}\\-\cfrac{16}{3}< t <-\cfrac{2}{3}\end{cases}$，
所以$t$的取值范围为$-\cfrac{8}{3}< t <-\cfrac{2}{3}$。
【法二】：利用乘积的符号法则和恒成立命题求解，
由(1) 得到，$f(x)=\cfrac{1}{4}(x+2)^2$，
$f(x+t)< f(\cfrac{x}{3})$对$x\in [-1，1]$恒成立，
可转化为$\cfrac{1}{4}(x+t+2)^2 <\cfrac{1}{4}(\cfrac{x}{3}+2)^2$对$x\in [-1，1]$恒成立，
得到$(x+t+2)^2-(\cfrac{x}{3}+2)^2< 0$对$x\in [-1，1]$恒成立，
平方差公式展开整理，即$(\cfrac{4x}{3}+t+4)(\cfrac{2x}{3}+t)<0$，
即$\begin{cases}\cfrac{4x}{3}+t+4<0\\\cfrac{2x}{3}+t>0\end{cases}$对$x\in [-1，1]$恒成立，或$\begin{cases}\cfrac{4x}{3}+t+4>0\\\cfrac{2x}{3}+t<0\end{cases}$对$x\in [-1，1]$恒成立；
即$\begin{cases}t<(-\cfrac{4x}{3}-4)_{min}\\t>(-\cfrac{2x}{3})_{max}\end{cases}$，或$\begin{cases}t>(-\cfrac{4x}{3}-4)_{max}\\t<(-\cfrac{2x}{3})_{min}\end{cases}$，
$\begin{cases}t <-\cfrac{16}{3}\\t >\cfrac{2}{3}\end{cases}$，或$\begin{cases}t >-\cfrac{8}{3}\\t <-\cfrac{2}{3}\end{cases}$，
即$x\in \varnothing$ 或$-\cfrac{8}{3}< t <-\cfrac{2}{3}$，
所以$t$的取值范围为$-\cfrac{8}{3}< t <-\cfrac{2}{3}$。

二、我们从中应该学到什么？

尺有所短，寸有所长。每一个例题都有她的数学营养成分，只是大小不一样而已。从一个例题中能提炼出什么东西，取决于我们需要提炼什么。在这里，学习需求成了一个很关键的问题，当然同时还有个提炼的角度在里面。我们这里主要说的是提炼的角度而不是学习需求。同时在你的心里你得不停的默念：好记性不如烂笔头。

1、整体把握题目的解答过程。
通读几遍例题的解答过程，先不管答案为什么这样做，先问自己，我是否看懂了题目。如果没有看懂，就再看几遍，直到看懂为止。
2、从思维上提炼，
这时候在我们看例题时的思维停顿处暂停，多想想题目为什么这样做，好在哪里，不好在哪里，能不能另外找个思路替代。如果你想不到这个思路，那么这就是你需要总结的地方。
3、从题型上总结，
看看这个题目是属于什么样的题型，如果这个题型在你的数学知识题型库中没有，那么将她纳入，如果题型有而你没有做出来，那就是方法不完备的问题了，再看下一步。
4、从解题方法上总结，
检索你已经有的题型和方法，如果二者都有，那就是数学知识的使用还不够灵活，这一点也正是你需要总结的地方；如果题型和方法都没有，那就充实和完善她。
5、从数学思想上总结，
看看这个题目考察了什么样的数学思想：
6、从举一反三的角度反思，
我们从例题中总结的方法能否用于某一类题目中，怎么用，可以和你以前做过的题目联系对比，点评：①注意由$k\leq f(x)\leq k$得到$f(x)=k$的结论的使用。
②二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a >0)$在区间$[m，n]$上恒有$f(x)<0$成立，等价于$f(m)<0$且$f(n)<0$。
③乘积的符号法则$a\cdot b <0$等价于$a >0$且$b <0$或者$a<0$且$b>0$；
④恒成立的模型$A>f(x)$恒成立等价于$A >f(x)_{max}$，$A< f(x)$恒成立等价于$A< f(x)_{min}$；
⑤平方差公式的主动灵活运用。