数学知识_斐波那契

一、

1.Calculation 计算

2.Application 应用

3.Inspiration 灵感

二、

格式一： ${\ displaystyle 1，\; 1，\; 2，\; 3，\; 5，\; 8，\; 13，\; 21，\; 34，\; 55，\; 89，\; 144，\ ; \ ldots}$

格式二： ${\ displaystyle 0，\; 1，\; 1，\; 2，\; 3，\; 5，\; 8，\; 13，\; 21，\; 34，\; 55，\; 89，\ ; 144，\; \ ldots}$

公式一：初等代数解法

$a_{{n}}={\frac {{\sqrt {5}}}{5}}\cdot \left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{{n}}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{{n}}\right]$

公式二：线性代数解法

$A_{n+1}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot \left\{\left[{\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right]^{n+1}-\left[{\frac {1}{2}}(1-{\sqrt {5}})\right]^{n+1}\right\}$

公式三：组合数解法

$F_{n}\approx {\frac {1}{{\sqrt {5}}}}a^{n}={\frac {1}{{\sqrt {5}}}}\cdot \left[{\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right]^{n}\approx 0.4472135955\cdot 1.618033988745^{n}$

公式四：用计算机求解

可通过编程观察斐波那契数列。分为两类问题，一种已知数列中的某一项，求序数。第二种是已知序数，求该项的值。

可通过递归递推的算法解决此两个问题。事实上当n相当巨大的时候，O（n）的递推/递归非常慢……这时候要用到矩阵快速幂这一技巧，可以使递归加速到O(logn)

单向数列

F 0	F 1	F 2	F 3	F 4	F 5	F 6	F 7	F 8	F 9	F 10	F 11	F 12	F 13	F 14	F 15	F 16	F 17	F 18	F 19	F 20
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181	6765

双向数列

F -8	F- 7	F -6	F -5	F -4	F -3	F -2	F -1	F 0	F 1	F 2	F 3	F 4	F 5	F 6	F 7	F 8
-21	13	-8	5	-3	2	-1	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21

三、

斐波那契数列中第 i 和第 i+1 个数平方和等于斐波那契数列中第 i*2+1 个数。

斐波那契数列中前 n 个数的平方和等于斐波那契数列中第 n 个数与第 n+1 个数的乘积。

原因如下：

四、和黄金分割的关系

开普勒发现数列前、后两项之比1/2 ,2/3 , 3/5 ,5/8 ,8/13 ,13/21 ,21/34 ,...... ,也组成了一个数列，会趋近黄金分割：

${\frac {f_{{n+1}}}{f_{n}}}\approx a={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})=\varphi \approx 1{.}618{...}$

斐波那契数亦可以用连分数来表示：

${\frac {1}{1}}=1\qquad {\frac {2}{1}}=1+{\frac {1}{1}}\qquad {\frac {3}{2}}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}\qquad {\frac {5}{3}}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}}}\qquad {\frac {8}{5}}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}}}}}$

$F_{n}={\frac {1}{{\sqrt {5}}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]={\varphi ^{n} \over {\sqrt {5}}}-{(1-\varphi )^{n} \over {\sqrt {5}}}$

而黄金分割数亦可以用无限连分数表示：

$\varphi =1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+...}}}}}}}}$

而黄金分割数也可以用无限多重根号表示：

$\varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+...}}}}}}}}$

https://www.ted.com/talks/arthur_benjamin_the_magic_of_fibonacci_numbers/transcript?awesm=on.ted.com_8pGw&utm_campaign=alan_kay_shares_a_powerful_idea_about_ideas&utm_content=ted.com-talkpage&utm_medium=on.ted.com-twitter&utm_source=direct-on.ted.com&language=zh-cn#t-362992

五、

https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number#Use_in_mathematics 斐波纳契数

https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient 二项系数

https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle 帕斯卡的三角形

https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_search_technique 斐波纳契搜索技术

https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_heap 斐波纳契堆

https://en.wikipedia.org/wiki/Recursion_(computer_science) 递归（计算机科学）

数学知识_斐波那契

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