它是最先发明的自平衡二叉查找树，也被称为高度平衡树。相比于"二叉查找树"，它的特点是：AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1。有四种不平衡的情况会出现：AVL树的插入，单旋转的第一种情况---右旋：
由上图可知：在插入之前树是一颗AVL树，而插入之后结点T的左右子树高度差的绝对值不再 < 1,此时AVL树的平衡性被破坏，我们要对其进行旋转。由上图可知我们是在结点T的左结点的左子树上做了插入元素的操作，我们称这种情况为左左情况，我们应该进行右旋转(只需旋转一次，故是单旋转)。具体旋转步骤是：
T向右旋转成为L的右结点，同时，Y放到T的左孩子上。这样即可得到一颗新的AVL树，旋转过程图如下：
左左情况的右旋举例：
AVL树的插入，单旋转的第一种情况---左旋：
由上图可知：在插入之前树是一颗AVL树，而插入之后结点T的左右子树高度差的绝对值不再 < 1,此时AVL树的平衡性被破坏，我们要对其进行旋转。由上图可知我们是在结点T的右结点的右子树上做了插入元素的操作，我们称这种情况为右右情况，我们应该进行左旋转(只需旋转一次，故事单旋转)。具体旋转步骤是：
T向右旋转成为R的左结点，同时，Y放到T的左孩子上。这样即可得到一颗新的AVL树，旋转过程图如下：
右右情况的左旋举例：
以上就是插入操作时的单旋转情况！我们要注意的是：谁是T谁是L，谁是R还有谁是X,Y,Z!T始终是开始不平衡的左右子树的根节点。显然L是T的左结点，R是T的右节点。X、Y、Y是子树当然也可以为NULL.NULL归NULL，但不能破坏插入时我上面所说的左左情况或者右右情况。
AVL树的插入，双旋转的第一种情况---左右(先左后右)旋：
由上图可知，我们在T结点的左结点的右子树上插入一个元素时，会使得根为T的树的左右子树高度差的绝对值不再 < 1，如果只是进行简单的右旋，得到的树仍然是不平衡的。我们应该按照如下图所示进行二次旋转：
左右情况的左右旋转实例：
AVL树的插入，双旋转的第二种情况---右左(先右后左)旋：
由上图可知，我们在T结点的右结点的左子树上插入一个元素时，会使得根为T的树的左右子树高度差的绝对值不再 < 1，如果只是进行简单的左旋，得到的树仍然是不平衡的。我们应该按照如下图所示进行二次旋转：
右左情况的右左旋转实例：
#include <iostream>
using namespace std;
#define DataType int
/**
定义AVL树的结构体，链式
**/
typedef struct AvlNode {
DataType data;
AvlNode * m_pLeft;
AvlNode * m_pRight;
int height;
}AvlTree, Position, AvlNode;
//求两个数的最大值
int Max(int a, int b)
{
return a>b ? a : b;
}
//求树的高度
int Height(AvlTree T)
{
if (NULL == T)
return -1;
else
return T->height;
}
//单旋转右旋
AvlTree singleRotateWithRight(AvlTree T)
{
AvlTree L = T->m_pLeft;
T->m_pLeft = L->m_pRight;
L->m_pRight = T;
T->height = Max(Height(T->m_pLeft), Height(T->m_pRight)) + 1;
L->height = Max(Height(L->m_pLeft), Height(L->m_pRight)) + 1;
return L; //此时L成为根节点了（可参考AVL的插入的左左情况的右旋图）
}
//单旋转左旋
AvlTree singleRotateWithLeft(AvlTree T)
{
AvlTree R = T->m_pRight;
T->m_pRight = R->m_pLeft;
R->m_pLeft = T;
T->height = Max(Height(T->m_pLeft), Height(T->m_pRight)) + 1;
R->height = Max(Height(R->m_pLeft), Height(R->m_pRight)) + 1;
return R; //此时R成为根节点了（可参考AVL的插入的左左情况的左旋图）
}
//双旋转，先左后右
AvlTree doubleRotateWithLeft(AvlTree T) //先左后右
{
T->m_pLeft = singleRotateWithLeft(T->m_pLeft);
return singleRotateWithRight(T);
}
//双旋转，先右后左
AvlTree doubleRotateWithRight(AvlTree T) //先右后左
{
T->m_pRight = singleRotateWithRight(T->m_pRight);
return singleRotateWithLeft(T);
}
AvlTree AvlTreeInsert(AvlTree T, DataType x)
{
if (T == NULL) //如果树为空
{
T = (AvlNode *)malloc(sizeof(struct AvlNode));
if (T)
{
T->data = x;
T->m_pLeft = NULL;
T->m_pRight = NULL;
T->height = 0;
}
else
{
cout << "空间不够" << endl;
exit(0);
}
}
else if (x < T->data) //如果插入到T结点的左子树上
{
T->m_pLeft = AvlTreeInsert(T->m_pLeft, x); //先插入，后旋转
if (Height(T->m_pLeft) - Height(T->m_pRight) == 2) ///回溯两次到这里
{
if (x < T->m_pLeft->data) //左左情况，只需要右旋转
{
T = singleRotateWithRight(T);
}
else //左右情况，双旋转,先左
{
T = doubleRotateWithLeft(T);
}
}
}
else if (x > T->data)
{
T->m_pRight = AvlTreeInsert(T->m_pRight, x);
if (Height(T->m_pRight) - Height(T->m_pLeft) == 2)//回溯两次到这里
{
if (x > T->m_pRight->data) //右右情况，进行左旋
{
T = singleRotateWithLeft(T);
}
else //左右情况，双旋转,先右
{
T = doubleRotateWithRight(T);
}
}
}
//else如果这个数已经存在，那么不进行插入
T->height = Max(Height(T->m_pLeft), Height(T->m_pRight)) + 1;
return T;
}
//递归实现中序遍历
void inOrderVisitUseRecur(const AvlTree pCurrent)
{
if (pCurrent)
{
inOrderVisitUseRecur(pCurrent->m_pLeft);
cout << pCurrent->data << " ";
if (pCurrent->m_pLeft)
cout << " leftChild: " << pCurrent->m_pLeft->data;
else
cout << " leftChild: " << "NULL";
if (pCurrent->m_pRight)
cout << " rightChild: " << pCurrent->m_pRight->data;
else
cout << " rightChild: " << "NULL";
cout << endl;
inOrderVisitUseRecur(pCurrent->m_pRight);
}
}