$1.$首先，有一个问题：给定一个含有$n$个元素的集合$A_1,A_2,A_3,...,A_n$,问题是怎样才能在比较短的时间内进行以下操作：
① 查询区间和：$Query(L, R)$ 即计算$A_L+A_{L+1}+...+A_R$

② 单点查询和增加：得到$A[i]$或者在$A[i]$基础上增加$c$

③（拓展内容）区间增加：将一个区间$[L, R]$的值统一增加

$2.$ 朴素的解决办法：对于区间和，可以利用前缀和思想，在$O(n)$内事先计算

那么$Query(L, R)=Sum[L]-Sum[R-1]$,单次查询$O(1)$ 但是这样还是不够，于是就衍生出了一种叫做树状数组的数据结构来解决这类问题。树状数组可以做到一次操作$O(logn)$，$n$次就是$O(nlogn)$。
$3.$树状数组
①引子：所谓数据结构，实现了对数据的一系列操作，比较高级的数据结构往往在数据的布局中隐含一些数学关系，通过这些对数学关系的利用，就实现了降低时空复杂度的目的。

②那么树状数组里隐藏了一些什么数学关系呢？我们可以先看看下图：

如图：这个看着像颗二叉树的东西，其实只是把编号的规则改了一下，仔细研究一下子结点和父节点编号的关系，比如4是8的左子节点，12是8的右子结点。有什么关系呢？
这几个数的二进制如下：
$4：100$（左子）
$12：1100$（右子）
$8：1000$（父）
于是聪明的发明者就发现了$4+100_{2}=8,\ 12-100_{2}=8$(下标2表示二进制)那么这个$100_{2}$怎么来的？
以$12$为例，可以看出$100_{2}$是$12$二进制下最右边的$1$所对应的值,。比如$76=1001100_{2}$，$76$的最右边的$1$所对应的值就是$4$。

③$Lowbit$
  我们将$x$的二进制表达式最右边的$1$所对应的值定义为一个函数叫$Lowbit(x)$，在程序实现中，Lowbit(x) = x & -x，为啥会这样写呢？因为计算机中的整数采用补码表示，因此$-x$实际上是把$x$按位取反，然后末尾加$1$的结果，比如：

  二者按位“与”之后，前面部分为$0$，之后的$Lowbit$保持不变，这样就得到了结果。
做完准备工作之后，我们来讲讲上图：
    第一：可以发现，对于一个结点$\ i$,如果它是左子结点，那么它的父结点的编号就是$\ i+Lowbit(i)$;如果它是右子结点，那么它的父结点的编号就是$\ i-Lowbit(i)$(请在草稿上验证)。
    第二：在图中，每一层的$Lowbit$值相同，并且$Lowbit$越大，越靠近树根。我用一些线段将这些灰色结点连了起来以便理解，需要注意的是编号为$0$的点是虚拟结点，为了方便理解而设定。
  在搞清楚树是怎么构成的之后，开始解决问题，不过在这之前我们需要先构造一个数组$C$,其中：

为什么会构造这么一个数组呢，可以从图中看出，每个灰色结点都有一个属于它的白色长条（对于$Lowbit=1$的点，就是它本身），而每一段“白色长条”所覆盖的结点中的数的总和就是$C_i$。例如：$C_{12}=A_9+A_{10}+A_{11}+A_{12};\ C_6=A_5+A_6$。（请在草稿上验证）

④计算前缀和$S_i$:
  根据$C_i$的性质，从图中可以看出，顺着某个结点$\ i$往上走（不一定经过树的边）一直到$0$，一路上把沿途的$C_i$加上就行了。下面用图示来说明。

⑤单点增加
  在这样的结构下修改一个$A_i$是会对其他结点有影响的，所以我们需要同时修改另一些结点，其实我们只需修改包含了$A_i$的点就行了，从$i$点往右上走（同样不一定经过树的边），沿途修改对应的$C_i$就行，如图所示：

⑥代码：
  单点增加：

void add(int x, int c){
    while(x <= n){
        C[x] += c;
        x += lowbit(x);
    }
}

  区间求和：

int query(int x){//前缀和，区间和只需query[R]-query[L-1]即可
    int ans = 0;
    while(x > 0){
        ans += C[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return ans;
}

⑦：以上就介绍了树状数组支持的两个基本操作：“单点增加”+“区间查询”。那么，怎么用树状数组实现“区间增加”+“单点查询”呢？请见下文：

$3.$ 先给出一道例题：
①：给定长度为$n(n\leq10^5)$的数列$a$，然后输入$n（n\leq10^5）$行操作指令.
  指令形如“$opt,l,r,c$”，
    $opt = 1$表示把数列中第$l\sim r$个数都加$\ c$。
    $opt=0$表示询问$a_r$的值（忽略$l,c$）

②思路分析：本题的指令是“区间增加”和“单点查询”，而树状数组仅支持“单点增加”，所以需要做一下转换。
新建一个数组$C[\ ]$初始化为0，$C[\ ]$就是$a$的差分，以此把区间操作改为单点操作。
对于指令一，转化为一下两个操作：
    1.把$C[l]$加上$c$。
    2.把$C[r+1]$减去$c$。

为什么会执行这两条呢，我们来考虑一下$C$的前缀和，
    1.对于$1\leq x<l$，前缀和不变。
    2.对于$l\leq x\leq r$，前缀和增加了$c$。
    3.对于$r<x\leq n$，前缀和不变（$l$处加$n$，$r+1$处减$n$，抵消了）

通过以上分析，可以发现$b$数组的前缀和就反映了区间增加产生的影响。
于是，我们可以用树状数组维护$C$的前缀和，又因为这些操作具有累加性，所以在树状数组上查询前缀和$C[1\sim x]$,就得到了区间增加指令在$a[x]$上增加的数值总和。再加上$A[x]$的初始值，就可以得到单点查询的答案。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;

int n;
int C[50005];


int lowbit(int x){
    return x & -x;
}

int query(int x){
    int ans = 0;
    while(x > 0){
        ans += C[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return ans;
}

void add(int x, int c){
    while(x <= n){
        C[x] += c;
        x += lowbit(x);
    }
}

int main(){
    scanf("%d", &n);
    memset(C, 0, sizeof(C));
    int b, e = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d", &b);
        add(i, b - e);
        e = b;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        int opt, l, r, c;
        scanf("%d %d %d %d", &opt, &l, &r, &c);
        if(opt == 0){
            add(l, c);
            add(r + 1, -c);
        }
        else if(opt == 1){
            printf("%d\n",query(r));
        }
    }
return 0;
}

文末总结：
本文借鉴了刘汝佳的《算法竞赛入门经典 训练指南》和李煴东的《算法竞赛进阶指南》。
个人所作，难免疏漏，希望大家发现问题能够指出，也希望大家能够从这篇文章中学到东西。