欧几里得算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：gcd(a,b)=gcd(a,a mod b)
gcd函数就是用来求(a,b)的最大公约数的。

证明gcd(a,b)=gcd(a,a mod b)

设d为a,b的公约数，则有$d|a,d|b$
设$r=a \mod b=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor b$
所以d|r
即(a,b)的公约数是(b,a mod b)的公约数
设d’为b, a mod b 的公约数，则$d'|b , d'|(a \mod b)$
因为$a=r+\lfloor \frac{a}{b}\rfloor b$
所以$d'|a$
即(b,a mod b)的公约数是的(a,b)公约数
所以(b,a mod b)，(a,b)公约数相同，其最大公约数也相同

code

int gcd(int a,int b) {
    int c;
    while (b!=0) {
        c=a%b;a=b;b=c;
    }
    return a;
}

扩展欧几里得

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据裴蜀定理）。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

分析：

设 $a>b$
当 $b=0,gcd(a,b)=a$ 所以此时$x=1,y=0$；
当$a>b>0$时
设 $ax_1+ by_1= gcd(a,b),bx_2+ (a \mod b)y_2= gcd(b,a \mod b);$
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
则$ax_1+ by_1=bx2+(a\mod b)y_2$;
即$ax_1+ by_1= bx_2+ (a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b)y2=ay_2+ bx_2- \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times by_2$;
根据恒等定理得：$x_1=y_2,y_1=x_2- \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times y_2$
恒等定理:两个多项式相等，则这两多项式最高次数相同，且对应次数项的系数相同.
通过递归我们可以不断的推出x1,y1，最终达到求解ax+by=gcd(a,b)的目的。

code:

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
    if(b==0) {
        x=1;y=0;return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;
    x=y;y=z-a/b*y;
    return r;
}

扩展欧几里得的应用

扩展欧几里得的应用主要有三个方面：

• 解不定方程
• 求解线性同余方程
• 求模的逆元

1、解不定方程

求解不定方程ax+by=c
用扩展gcd求出$ax'+by'=gcd(a,b)$的解$x',y'$
$x',y'$分别乘上$c/gcd(a,b)$则可得到ax+by=c的一组解x,y;
当$c \mod gcd(a,b) \neq0$方程无解
如何求通解？
设$x=x_0+p,y=y_0-q$($x_0,y_0$为上述过程中解出的特解x,y),且$a(x_0+p)+b(y_0-q)=c$.
可得$ap=bq$.
又因为$a(x_0+p)+b(y_0-q)=c$
所以p,q应为a,b的公倍数
那么我们可以得到

因为$lcm(a,b)=\frac {ab}{gcd(a,b)}$
所以当$lcm(a,b)$过大时,我们可以将$\frac {lcm(a,b)}{a}$变为$\frac {b}{gcd(a,b)}$

2、求解线性同余方程

求解:

3、求模的逆元

有$ax\equiv1 \pmod m$
同2可得$ax+my=1$
解出x即为a的逆元