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1.状压DP介绍:
状态压缩动态规划,就是我们俗称的状压DP,是利用计算机二进制的性质来描述状态的一种DP方式
很多棋盘问题都运用到了状压,同时,状压也很经常和BFS及DP连用,例题里会给出介绍
有了状态,DP就比较容易了
举个例子:有一个大小为n*n的农田,我们可以在任意处种田,现在来描述一下某一行的某种状态:
设n = 9;
有二进制数 100011011(九位),每一位表示该农田是否被占用,1表示用了,0表示没用,这样一种状态就被我们表示出来了:见下表
列 数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
二进制 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
是否用 | √ | × | × | × | √ | √ | × | √ |
所以我们最多只需要 2^(n + 1) - 1的十进制数就好(左边那个数的二进制形式是n个1)
2. 使用
.有时,状态相当复杂,看上去需要很多空间,比如一个数组才能表示一个状态,那么就需要对状态进行某种编码,进行压缩表示。
3.运算符:
1.’&’符号,x&y,会将两个十进制数在二进制下进行与运算,然后返回其十进制下的值。例如3(11)&2(10)=2(10)。
2.’|’符号,x|y,会将两个十进制数在二进制下进行或运算,然后返回其十进制下的值。例如3(11)|2(10)=3(11)。
3.’^’符号,x^y,会将两个十进制数在二进制下进行异或运算,然后返回其十进制下的值。例如3(11)^2(10)=1(01)。
4.’<<’符号,左移操作,x<<2,将x在二进制下的每一位向左移动两位,最右边用0填充,x<<2相当于让x乘以4。相应的,’>>’是右移操作,x>>1相当于给x/2,去掉x二进制下的最有一位。
这四种运算在状压dp中有着广泛的应用,常见的应用如下:
1.判断一个数字x二进制下第i位是不是等于1。
方法:if ( ( ( 1 << ( i - 1 ) ) & x ) > 0)
将1左移i-1位,相当于制造了一个只有第i位上是1,其他位上都是0的二进制数。然后与x做与运算,如果结果>0,说明x第i位上是1,反之则是0。
2.将一个数字x二进制下第i位更改成1。
方法:x = x | ( 1<<(i-1) )
证明方法与1类似,此处不再重复证明。
3.把一个数字二进制下最靠右的第一个1去掉。
方法:x=x&(x-1)