1、矩阵的定义
(1)由中的个数构成的行,列矩形数表
称为上的矩阵,构成A的个数称为A的元素。位于矩阵A的第行,第列的元素 称为A的 —元。
A有个行: A有n个列:
(2)如果矩阵A的元素都是实数,则称A为实矩阵
(3)矩阵的3中简记方法
① ② ③
(4)如果矩阵A的所有元素都为零,则称A为零矩阵;至少有一个元素不为零的矩阵称为非零矩阵。
矩阵中所有元素都为零的行(列)称为零行(零列),否则称为非零行。
2、与线性方程组有关的矩阵
线性方程组
①(L1)的系数矩阵 ②(L1)的未知数构成的列矩阵 ③(L1)的常数项构成的列矩阵
④(L1)的增广矩阵
3、矩阵的初等变换
(1)定义:设A是矩阵.
① ② ③
上述三种变换称为矩阵A的初等变换。
(2)如果A可以经过有限次初等变换化为B,那么称A与B是等价的
(3)增广矩阵研究线性方程组
- 线性方程组(L1) 增广矩阵B
- 对B作有限次初等行变换得矩阵C
- 矩阵C 线性方程组(L2)
- 线性方程组(L1)与(L2)同解
4、阶梯型矩阵
(1)定义:如果矩阵T满足下列条件:
- T的零行集中在T的底部;
- T的非零行的(从左边起)第1个非零元为1;
- 设T有个非零行,T的第个非零行的第一个非零元位于第 列, , 则
那么称T为阶梯形矩阵。
(2)定义:阶梯形矩阵的非零行的1个非零元1称为T的主元.
- 阶梯形矩阵的主元的个数等于其非零行的个数
- 零矩阵是阶梯形矩阵
(3)定义:如果矩阵A与阶梯形矩阵T是行等价的,则称T为A的阶梯形.
(4)定义:矩阵A的阶梯形的非零行的个数称为A的秩,记作
命题1 如果A是矩阵,那么
(5)定义:设T是阶梯形矩阵,如果T的主元所在列只有一个非零元,则称T为简化阶梯形矩阵.
任意矩阵的简化阶梯形是唯一的.
eg.
5、关于线性方程组的基本定理
定理1 如果对线性方程组(L1)做有限次初等变换得方程组(L2),则方程组(L1)与方程组(L2)是同解的。
定理2 对任意矩阵A,存在阶梯形矩阵T,使得A与T是行等价的.
定理3 矩阵的阶梯形的非零行的个数是唯一的.
定理4 对任意矩阵A,存在简化阶梯形矩阵T,使得A与T是行等价的
定理5 设(L1)是线性方程组,A是(L1)的系数矩阵, 是(L1)的增广矩阵。有如下结论:
①方程组(L1)有解的充分必有条件是
②方程组(L1)有解并且解唯一的充分必要条件是
③进一步地,当(L1)的解不唯一是,(L1)有无穷多个解.
以 为增广矩阵的线性方程组记作(L2).形状如下:
first.下面根据 = 1 或者 = 0 分两种情况讨论方程组(L2)的性质.
(1) = 1. 这等价于
这种情况下,(L2)中的第r+1个方程为 0=1. 显然是无解方程,所以方程组(L2)无解,因此方程组(L1)无解.
(2) = 0. 这等价于 .
设 . 这时候,方程组(L2)为
它就是方程组(L1)的唯一解.
second.下面设 .
这时方程组(L2)中的自由未知数的个数 将(L2)中的含自由未知数的项都移到等式右边得
方程组(L1)与(L3)同解.将自由未知数 任意赋值:
代入(L3)得
方程组(L1)的通解为
其中 为任意常数.这时方程组(L1)有无穷多解.
六、齐次线性方程组
1、定义:常数项都为零的线性方程组
称为齐次线性方程组.
(1)常数项不全为零的线性方程组,称为非齐次线性方程组.
(2)齐次线性方程组(H1)一定有解,因为
是它的一个解,零解以外的解称为非零解.
定理6 如果齐次线性方程组(H1)的系数矩阵为A,那么(H1)有非零解的充分必要条件是