二分图最大匹配

定义

在所有的匹配中，边数最多的匹配称为二分图最大匹配。

解法

$\text{二分图最大匹配}=\text{最大流}$

证明

参见$K\text{ö}nig$定理。

二分图最小点(权)覆盖

定义

选取尽量少的顶点，使得所有的边都被覆盖。

解法

$\text{最小点覆盖}=\text{最大匹配}$
1. 对于原图中的 $(u,v)$，连边 $(u,v)$ 流量为 $\inf$
2. 连边 $(S,i)$，流量为点权，连边 $(i,T)$ 流量为点权。
3. $\text{最小点权覆盖集}=\text{最小割}$

证明

设最大匹配为 $M$，则存在某边 $e$ 没被覆盖，则通过 $e$ 能得到更大的匹配，矛盾。因此，$M$ 个点是足够的$($最小顶点覆盖 $\leqslant$ 最大匹配$)$。
最大匹配中的 $M$ 条边由于两两之间没有公共点，因此至少有 $M$ 个点才能把它们全部覆盖。因此，$M$ 个点是必须的$($最大匹配 $\leqslant$ 最小顶点覆盖$)$。

二分图最大(权)独立集

定义

选出尽量多的节点，使得这些点之间没有边相连。

解法

$\text{最大独立集}=\text{点数}-\text{最小(顶)点覆盖}$
$\text{最大点权独立集}=\text{总权值}-\text{最小点权覆盖集}$

证明

把所有的点放进集合，然后删去最少的点和与之相关联的边，使得全部边都被删完，刚好就是最小(顶)点覆盖。

最小路径覆盖

定义

选取尽量少的路径，覆盖图中所有的顶点，且每个顶点都只被一条路径覆盖。

解法

拆点，原图转换为二分图。

$\text{最小路径覆盖}=\text{点数}-\text{最大匹配数}$

证明

当最大匹配数为 $0$时，图中没有边，需要 $n$ 条路径才能覆盖全部点。
如果存在$(a,b)$，则匹配数增加 $1$，需要的路径数会减少 $1$。

最小点(权)割集

定义

在图中删除尽量少的点，使得不存在 $S T$ 不连通

解法

1. 拆点，连边 $(x,x')$ 流量为 $1$(权值)。
2. 对于原图中的 $(a,b)$，连边 $(a,b)$，流量为 $\inf$。
3. $\text{|最小点(权)割集|}=\text{最小割}$

证明

某条边被割表示这个点被删除了，由于最小割不可能为 $\inf$，因此原图中的边不会被割。

最大权闭合子图

定义

找出原图的子图 $G$，使得 $G$ 中所有的点得出边都在 $G$ 中，且点上的权值最大。

解法

1. 对于所有权值为正的点，连边 $(S,i)$ 流量为点权。
2. 对于所有权值为负的点，连边 $(i,T)$，流量为权值的相反数。
3. 对于原图中的边 $(u,v)$，连边 $(u,v)$ 流量为 $\inf$。
4. $\text{最大权闭合子图}=\text{正权点权值和}-\text{最小割}$

证明

边 $(S,i)$ 被割掉表示不选 $i$ 点，因为只有 $\sum(j,T).val>(S,i).val$ 成立时 $(S,i)$ 才会被割掉
相反的，边 $(i,T)$ 被割掉表示选 $i$ 点。
把最小割分为两部分，其中一部分是$F(S,i)$，另一部分是$F(i,T)$，则选择的 $\text{最大权}$
$=\text{选择的正权点权值总和}+\text{选择的负权点权值总和}$
$=\text{所有正权点权值总和}-\text{不选的正权点权值总和}-F(i,T)$
$=\text{所有正权点权值总和}-F(S,i)-F(i,T)$
$=\text{所有正权点权值总和}-\text{最小割}$

最大边独立集

定义

选出尽量多的边,使得这些边没有公共点。

解法

$\text{最大边独立集}=\text{最大匹配}$
对于原图中每一条边$(u,v)$，连边$(u,v)$流量为 $1$，费用为边权，则有
$\text{最大边权独立集}=\text{最小费用最大流}$

证明

设最大匹配为 $M$，若存在另一条边 $(u,v)$ 和之前选择的点没有公共点，则还可以通过这条边增大匹配，矛盾，因此M个点是最多的。
设最大匹配为 $M$，对于一个匹配，至少需要一条边才能覆盖到，因此 $M$ 条边是必须的。

二分图最小边覆盖

定义

选出尽量少的边，覆盖所有的点。

解法

$\text{最小边覆盖}=\text{最大独立集}$

证明

最大独立集中的每对点都不能通过一条边覆盖到，必须要用两条不同的边才能覆盖到，因此需要最大独立集条边覆盖所有点。

最大密度子图

定义

给定一张无向图，求一个子图，使得子图中边数 $|E|$ 与点数 $|V|$ 的比值最大，即最大化：$\dfrac{|E|}{|V|}$

解法

二分答案 $k$，网络流判断。
构图：以原图的边作为左侧顶点，权值为$1$；原图的点作为右侧顶点，权值为 $-k$。
若原图中存在边 $(u,v)$，则新图中添加两条边 $([uv],u)$, $([uv],v)$。
$\dfrac{|E|}{|V|}=\text{最大权闭合子图}$

证明

分数规划

最小链覆盖(BZOJ1143)

留坑待填