本文将运用傅里叶变换来解决数学物理方法中的热流问题:
假设我们有一个圆环,初始温度分布为
f(x)
,求任意时刻圆环各处的温度情况
求解过程如下
设
U(x,t)
为圆环在
x
位置,
t
时刻时的温度
显然
U(x,0)=f(x)
为了便于计算,我们设绕圆环一周的总长度为
1
,则我们有:
f(x+1)=f(x)
,
U(x+1,t)=U(x,t)
,即一圈后回到原来的位置
由于函数
U
是周期函数,因此我们可以写出它的傅里叶级数表达式:
U(x)=∑k=−∞∞Cke2πikx
由于函数
U
是
x
与
t
的函数,而
e2πikx
部分展现了其周期性,因此,系数
Ck
应当是
t
的函数,且与
x
无关(否则将失去周期性)。于是我们得到:
U(x,t)=∑k=−∞∞Ck(t)e2πikx(1)
由数学物理方法知道,一维热方程(又称扩散方程):
Ut=aUxx
其中,
a
是由圆环的环境、材质等决定的常数,为了便于计算,我们将其设为
12
,从而得到(注意此处的下标
t
及
xx
表示求导)
Ut=12Uxx(2)
将
(1)
式代入
(2)
式,我们有
Ut=∑k=−∞∞C′k(t)e2πikx
Uxx=∑k=−∞∞Ck(t)(−4π2k2)e2πikx
⟹∑k=−∞∞C′k(t)e2πikx=∑k=−∞∞Ck(t)(−2π2k2)e2πikx
由于
{e2πikx}
的正交性,等式左右两边的系数必然一一对应,于是我们有:
C′k(t)=−2π2k2Ck(t)
解该常微分方程,有:
⟹⟹⟹⟹d(Ck)dt=−2π2k2Ckd(Ck)Ck=−2π2k2dt∫1Ckd(Ck)=∫−2π2k2dtlnCk=a−2π2k2t,a为常数Ck(t)=Ck(0)e−2π2k2t(3)
因而进一步地,我们需要计算
Ck(0)
当
t=0
时,根据
(1)
式,有
U(x,0)=f(x)=∑k=−∞∞Ck(0)e2πikx
考虑到
f(x)
也是周期函数,因此可以写出其傅里叶级数:
f(x)=∑k=−∞∞f^(k)e2πikx
对比两式可知,
Ck(0)
可以看作
f(x)
傅里叶展级数开式的第
k
项系数
f^(k)
根据这个结论,以及
(3)
式,我们有:
U(x,t)=∑k=−∞∞f^(k)e−2π2k2te2πikx
从这个式中,我们可以知道:当
t→∞
,
U(x,t)→0
这是本题的解的第一种表达方式
我们继续将
f^(k)
用
f(x)
表示,此处,为了区分于
U(x,t)
中的
(x)
变量,我们将
f(x)
改写为
f(y)
,从而有:
f^(k)=∫10e−2πikyf(y)dy
因此,我们可以最终写出
U(x,t)
的表达式:
U(x,t)=∑k=−∞∞∫10e−2π2k2te2πikxe−2πikyf(y)dy=∫10∑k=−∞∞(e2πik(x−y)e−2π2k2t)f(y)dy(4)
这是本题的解的第二种表达方式
此外,通过
(4)
式,我们可以引入卷积的概念
令
g(x,t)=∑∞k=−∞e2πikxe−2π2k2t
,那么
U(x,t)
可以表示为:
U(x,t)=∫10g(x−y,t)f(y)dy
这个式子的含义是:
U(x,t)
是
f(x)
与
g(x,t)
的卷积
此处,
g(x,t)
被称为热核函数(也称热方程格林函数或热方程基本解),在其他数学物理方法的题目中,还会看到许许多多不同的“核”函数,他们同样会以卷积的形式构成类似的解