本文将运用傅里叶变换来解决数学物理方法中的热流问题：
假设我们有一个圆环，初始温度分布为$f(x)$，求任意时刻圆环各处的温度情况

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求解过程如下

设$U(x,t)$为圆环在$x$位置，$t$时刻时的温度
显然$U(x,0) = f(x)$
为了便于计算，我们设绕圆环一周的总长度为$1$，则我们有：$f(x+1) = f(x)$，$U(x+1,t) = U(x,t)$，即一圈后回到原来的位置
由于函数$U$是周期函数，因此我们可以写出它的傅里叶级数表达式：

$$U(x) = \sum_{k=-\infty}^\infty C_k e^{2\pi ikx}$$

由于函数$U$是$x$与$t$的函数，而$e^{2\pi ikx}$部分展现了其周期性，因此，系数$C_k$应当是$t$的函数，且与$x$无关（否则将失去周期性）。于是我们得到：

$$U(x,t) = \sum_{k=-\infty}^\infty C_k(t) e^{2\pi ikx}\tag1$$

由数学物理方法知道，一维热方程（又称扩散方程）：

$$U_t = a U_{xx}$$

其中，$a$是由圆环的环境、材质等决定的常数，为了便于计算，我们将其设为$\frac{1}{2}$，从而得到（注意此处的下标$t$及$xx$表示求导）

$$U_t = \frac{1}{2} U_{xx}\tag2$$

将$(1)$式代入$(2)$式，我们有

$$U_t =\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k^\prime(t) e^{2\pi ikx}$$

$$U_{xx} = \sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k(t) (-4\pi^2k^2)e^{2\pi ikx}$$

$$\implies \sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k^\prime(t) e^{2\pi ikx} = \sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k(t) (-2\pi^2k^2)e^{2\pi ikx}$$

由于$\{e^{2\pi ikx}\}$的正交性，等式左右两边的系数必然一一对应，于是我们有：

$$C_k^\prime(t) = -2\pi^2k^2 C_k(t)$$

解该常微分方程，有：

$$\begin{align*} &\frac{d(C_k)}{dt} =-2\pi ^2k^2 C_k \\ \implies &\frac{d(C_k)}{C_k} = -2\pi ^2k^2 dt \\ \implies &\int \frac{1}{C_k}d(C_k) = \int -2\pi ^2k^2 dt \\ \implies &\ln C_k = a -2\pi ^2k^2t，a为常数\\ \implies &C_k(t) = C_k(0)e^{ -2\pi ^2k^2t}\tag3 \end{align*}$$

因而进一步地，我们需要计算$C_k(0)$

当$t=0$时，根据$(1)$式，有

$$U(x,0) = f(x) = \sum_{k=-\infty}^\infty C_k(0) e^{2\pi ikx}$$

考虑到$f(x)$也是周期函数，因此可以写出其傅里叶级数：

$$f(x) = \sum_{k=-\infty}^\infty \hat{f}(k) e^{2\pi ikx}$$

对比两式可知，$C_k(0)$可以看作$f(x)$傅里叶展级数开式的第$k$项系数$\hat{f}(k)$
根据这个结论，以及$(3)$式，我们有：

$$U(x,t) = \sum_{k=-\infty}^\infty \hat{f}(k) e^{-2\pi ^2k^2t}e^{2\pi ikx}$$

从这个式中，我们可以知道：当$t\to \infty$，$U(x,t)\to 0$
这是本题的解的第一种表达方式

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我们继续将$\hat{f}(k)$用$f(x)$表示，此处，为了区分于$U(x,t)$中的$(x)$变量，我们将$f(x)$改写为$f(y)$，从而有：

$$\hat{f}(k) = \int_0^1 e^{-2\pi iky} f(y)dy$$

因此，我们可以最终写出$U(x,t)$的表达式：

$$\begin{align*} U(x,t) &= \sum_{k=-\infty}^\infty \int_0^1e^{-2\pi ^2k^2t}e^{2\pi ikx}e^{-2\pi iky}f(y)dy\\ &=\int_0^1 \sum_{k=-\infty}^\infty (e^{2\pi ik(x-y)}e^{-2\pi ^2k^2t})f(y)dy\tag4 \end{align*}$$

这是本题的解的第二种表达方式

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此外，通过$(4)$式，我们可以引入卷积的概念
令$g(x,t) = \sum_{k=-\infty}^\infty e^{2\pi ikx}e^{-2\pi ^2k^2t}$，那么$U(x,t)$可以表示为：

$$U(x,t) = \int_0^1g(x-y,t)f(y)dy$$

这个式子的含义是：$U(x,t)$是$f(x)$与$g(x,t)$的卷积
此处，$g(x,t)$被称为热核函数（也称热方程格林函数或热方程基本解），在其他数学物理方法的题目中，还会看到许许多多不同的“核”函数，他们同样会以卷积的形式构成类似的解