1 常数项级数的概念和性质
1.1 定义
1.1.1 无穷级数
设给定一个数列:
u1,u2,u3…un,…
式子
u1+u2+u3+⋯+un+⋯=∑n=1∞un
称为(常数项)无穷级数,简称(常数项)级数,其中
un
成为一般项或通项。
1.1.2 部分和
前
n
项的和为:
Sn=u1+u2+⋯+un
,称
S1,S2,…Sn…
为部分和数列。
1.1.3 收敛
若
limn→∞Sn=S
, 称数列收敛,
S
为级数的和,即:
∑n=1∞un=S
若
limn→∞Sn
不存在,称级数发散
1.2 性质
若级数
∑un,∑vn
都收敛,则
∑(aun±bvn)
也收敛,且
∑(aun±bvn)=a∑un±b∑vn
a,b
为常数
级数中去掉、加上或改变有限项,敛散性不变
级数加括号增强收敛性
若级数收敛,则
limn→∞un=0
1.3 常见级数
1.3.1 几何级数
无穷级数
∑n=0∞aqn=a+aq+aq2+⋯+aqn+…
叫做等比级数(几何级数)
当
|q|<1
时收敛, 当
|q|≥1
时发散。
1.3.2 p级数
无穷级数
∑n=0∞1np=1+1n+1n2+⋯+1np+…
叫做p级数
当
|q|>1
时收敛, 当
|q|≤1
时发散。
2 常数项级数的审敛法
2.1 正项级数
2.1.1 定义
如果级数的每一项都大于等于零,称级数
∑∞n=1un
为正项级数
2.1.2 收敛
正数项级数收敛的充要条件是它的部分和数列{S _ n} 有界
2.2 正项级数的审敛法
2.2.1 比较审敛法
2.2.1.1 描述
设
∑∞n=1un
和
∑∞n=1vn
都是正项级数,且
un≤vn(n=1,2,3…)
。若级数
∑∞n=1vn
收敛,则
∑∞n=1un
收敛,反之,若级数
∑∞n=1un
发散, 则级数
∑∞n=1vn
发散。
2.2.1.2 极限形式
设
∑∞n=1un
和
∑∞n=1vn
都是正项级数,且
limn→∞unvn=l
若
0<l<+∞
,则
∑∞n=1un
与
∑∞n=1vn
,同敛散。
若
l=0
,则当
∑∞n=1vn
收敛,有
∑∞n=1un
也收敛。
若
l=+∞
,则当
∑∞n=1un
发散,有
∑∞n=1vn
也发散。
2.2.1.3 记忆法
大的收敛,小的必收敛; 小的发散,大的必发散。
2.2.2 比值审敛法
设
∑∞n=1un
是正项级数,如果
limn→∞un+1un=ρ
则当
ρ<1
时级数收敛
ρ=1
时级数不定
ρ>1
时级数发散
2.2.3 根式审敛法
设
∑∞n=1un
是正项级数,如果
limn→∞un−−√n=ρ
则当
ρ<1
时级数收敛
ρ=1
时级数不定
ρ>1
时级数发散
2.2.4 极限审敛法
利用与
p
级数的比较审敛法可以获得
若
limn→∞nun=l
, 当
l>0
或
l=+∞
时,则级数
∑∞n=1un
发散。
若
limn→∞npun=l
, 当
0≤l<+∞
时,则级数
∑∞n=1un
收敛。
2.3 交错级数
2.3.1 定义
∑∞n=1(−1)n−1un
或
∑∞n=1(−1)nun
(正负交替出现的级数)
2.4 交错级数的审敛法
2.4.1 莱布尼兹审敛法
如果交错级数
∑∞n=1(−1)n−1un
满足条件:
un≥un+1(n=1,2,3,…)
limn→∞un=0
则级数收敛,且其和
s≤u1
,其余项
rn
的绝对值
|rn|≤un+1
2.5 绝对收敛与条件收敛
设
∑∞n=1un
为任意项级数
若
|∑∞n=1un|
,收敛,则称其为绝对收敛
若
|∑∞n=1un|
发散,但
∑∞n=1un
收敛,则称其为条件收敛。
绝对收敛必收敛。
3 函数项级数的基本概念
3.1 定义
称形如
∑∞n=0un(x)=u1(x)+u2(x)+⋯+un(x)+…
的级数为函数项级数。
3.2 收敛点与发散点
∀x0∈I,∑∞n=1un(x0)
收敛,称
x0
为函数项级数的收敛点
∀x0∈I,∑∞n=1un(x0)
发散,称
x0
为函数项级数的发散点
3.3 收敛域
收敛点的全体
3.4 和函数
若
∑∞n=1un(x0)
收敛,则
∑∞n=1un=s(x)
,称
s(x)
为和函数。
4 幂级数
4.1 定义
形如
∑n=0∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯+an(x−x0)n+…
的无穷级数。
4.2 幂级数收敛定理——阿贝尔定理
4.2.1 描述
如果幂级数
∑∞n=0anxn
当
x=x0(x≠0)
时收敛,则对满足不等式
|x|<|x0|
的一切
x
,幂级数都收敛,并且是绝对收敛。
如果幂级数
∑∞n=0anxn
当
x=x0(x≠0)
时发散,则对满足不等式
|x|>|x0|
的一切
x
,幂级数都发散。
4.2.2 注
4.3 收敛半径与收敛域的计算
4.3.1 收敛半径R的求法
若
∑∞n=0anxn
的系数
an
满足
limn→∞|an+1an|=ρ
,或
limn→∞|an|−−−√n=ρ
, (
ρ
为正常数或
+∞
),那么他的收敛半径为:
当
0<ρ<+∞
,有
R=1ρ
当
ρ=0
,有
R=+∞
当
ρ=+∞
,有
R=0
4.3.2 求幂级数收敛域的基本步骤
求出收敛半径
R
判别常数项级数
∑∞n=0anRn,∑∞n=0an(−R)n
的收敛性。
4.4 幂级数的性质
设
∑∞n=0anxn,∑∞n=0bnxn
的收敛半径分别为
R1,R2
,其和函数分别为
s1(x),s2(x)
,又设
R=min(R1,R2)
,则有以下运算性质:
4.4.1 加减法
∑n=0∞anxn±∑n=0∞bnxn=∑n=0∞(an±bn)xn=s1(x)±s2(x)
其收敛半径为
R
4.4.2 乘法
(∑n=0∞anxn)⋅(∑n=0∞bnxn)=s1(x)⋅s2(x)
其收敛半径为
R
4.4.3 逐项求导
s′(x)=(∑n=0∞anxn)′=∑n=1∞nanxn−1
且收敛半径不变,但端点的敛散性可能会变。
4.4.4 逐项求积
∫x0s(x)dx=∫x0(∑n=0∞anxn)dx=∑n=0∞ann+1xn+1
且收敛半径不变,但端点的敛散性可能会变。
5 函数展开成幂级数
5.1 泰勒级数
f(x)=f(x0)+f(1)(x0)(x−x0)+f(2)(x0)(x−x0)22!+⋯+f(n)(x0)(x−x0)nn!+⋯=∑n=0∞f(n)(x0)(x−x0)nn!
5.2 麦克劳林级数
当泰勒级数取
x0=0
时,称级数为麦克劳林级数:
f(x)=f(0)+f(1)(0)x+f(2)(0)x22!+⋯+f(n)(0)xnn!+⋯=∑n=0∞f(n)(0)xnn!
5.3 泰勒收敛定理
设函数
f(x)
在点
x0
的某一邻域内具有各阶导数,则
f(x)
在该邻域内可展开为泰勒级数的充要条件是
limn→∞Rn(x)=0
5.4 函数幂级数的唯一性
如果函数可展开为幂级数,则展开式是唯一的。
5.5 计算法
5.5.1 直接法
利用泰勒展开式成立的条件检验其是否存在
利用泰勒展开式直接写出函数的幂级数展开式
5.5.2 间接法
利用已知的幂级数展开式,通过幂级数的运算法计算
ex=∑n=0∞1n!xn,(−∞<x<+∞)
sinx=∑k=0∞(−1)k(2k+1)!x2k+1,(−∞<x<+∞)
11+x=∑n=0∞(−1)nxn,(−1<x<+1)
ln(1+x)=∑n=1∞(−1)n−1nxn,(−1<x≤+1)
cosx=∑k=0∞(−1)k(2k)!x2k,(−∞<x<+∞)
6 三角函数系的正交性
三角函数系
1,cosx,sinx,cos2x,sin2x⋯cosnx,sinnx,⋯
在区间
[−π,π]
上正交,就是指在三角函数系中任意两个不同的两个函数的乘积在
[−π,π]
上的积分等于零,即满足
∫π−πsinmxsinnxdx={0,m≠nπ,m=n
∫π−πcosmxcosnxdx={0,m≠nπ,m=n
∫π−πsinmxcosnxdx=0,∫π−πcosnxdx=∫π−πsinnxdx=0
其中
m,n
都是正整数。
7 傅里叶级数
7.1 描述
f(x)∼a02+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)
其中
an=1π∫π−πf(x)cosnxdx
bn=1π∫π−πf(x)sinnxdx
7.2 傅里叶级数的收敛定理(狄利克雷充分条件)
设
f(x)
是周期为
2π
的周期函数,如果它满足
在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点
在一个周期内至多只有有限个极值点
则
f(x)
的傅里叶级数收敛,并且
当
x
是
f(x)
的连续点时,级数收敛于
f(x)
当
x
是
f(x)
的间断点时,级数收敛于
12[f(x−)+f(x+)]
7.3 周期延拓
将只在区间
[−π,π]
上有定义且满足收敛定理的条件,我们可以将其在定义域外补充它的定义,使它拓广成一个周期为
2π
的周期函数
φ(x)
,然后就可以将
φ(x)
展开为傅里叶级数,最后将其限制在
[−π,π]
内,此时
φ(x)≡f(x)
7.4 正弦级数和余弦级数
奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数
偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数
7.5 奇延拓与偶延拓
设函数
f(x)
定义在
[0,π]
上且满足收敛定理的条件
7.5.1 奇延拓
令
F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪f(x),0,−f(−x),0<x≤πx=0−π<x<0
可以获得
f(x)
的正弦级数展开式
7.5.2 偶延拓
令
F(x)={f(x),f(−x),0≤x≤π−π<x<0
可以获得
f(x)
的余弦级数展开式
7.6 一般周期函数的傅里叶级数
设周期为
2l
的周期函数
f(x)
满足收敛定理的条件,则它的傅里叶级数展开式为
f(x)∼a02+∑n=1∞(ancosnπxl+bnsinnπxl)(x∈C)
其中
an=1l∫l−lf(x)cosnπxldx
bn=1l∫l−lf(x)sinnπxldx
C={x|f(x)=12[f(x−)+f(x+)]}