福州Day5之数论
课前“引导”：数论这种东西……emmm恶名远扬，阿呸，闻名信息信息界，见过它的人无一不赞叹它的惊人内涵，如今，我也接触到它的真面目，才发现……耳听为虚眼见为实啊！！！它比传说的难多了好吧！！！Σ(っ °Д °)っ
数论
n=p1a1*p2a2*……*pkak
m=p1b1*p2b2*……*pkbk
gcd(n,m)=p1min{a1,b1}*p2min{a2,b2}……
lcm(n,m)=p1max{a1,b1}*p2max{a2,b2}*……
(我天！！！这博客打的……好心累……<。)#)))≦)
a%m=b%m 即a≡b（mod m）【读作：a同余b】m|a-b【m整除（a-b）】
当a1≡a2 且b1≡b2时
1）a1+b1≡a2+b2
2）a1-b1≡a2+b2
3）a1*b1≡a2*b2
求ak mod m
ak
当k为奇数时 ak=ak/2*ak/2
当k为偶数时 ak=ak/2*ak/2
（快速幂算法）
Ps【特别注意】注意k为0时程序会炸，所以谨慎思考，细心做题(ง •_•)ง
并且，要注意以下操作：
当k=0时，将a0=1
当k=1时，将a1=a
注意要将边界值定义。
当mod m后，（a/b）*b≡a乘法逆元
a*b≡1（mod m）
即a，b在对m取余的情况下互为逆元。
所以
a=b-1
因为b-1*b=b-1+1=b0=1
（b-1即mod m情况下b的逆元）
同样
b=a-1
因为a*a-1=a1+(-1)=a0=1
（a-1即在mod m情况下a的逆元）
ax≡1（mod m）
m|ax-1
ax+=my（y为整数）
ax-my=1（x，y都为整数）
(a,m)|1
（QAQ。伟大的老师（老司机）说了，这是非！常！简！单！的数论入门题。假的吧！！！TAT没一句听懂的说！！！幸好老师说可以单记住结论！！！QAQ，who can 拯救 me）
a1*m≠1bm/（a1*m）
存在b！≡0（b不同余0）
则a*b≡0
（what 嘞嘞？！！以下笔记错误多多（老师的字体太有内涵了，原谅我等级低看不懂），具体干啥用的我也母鸡！！！）
a*a-1≡0
a*b≡0（mod m）
a-1*a*b≡0*a-1（mod m）
b≡0（mod m）
a/b≡a*b-1*b
≡a
实数：a≠0，整数：a，小数1/a。都可以拿来做除法。
【翻译】在实数里面，除了0之外都可以做除数（半天我只听懂这一句）。同样，因为0不能做除数，所以0没有逆元。
费马小定理
P为素数
1） ap≡a（mod p）
2）当（a，p）=1时
ap-1+≡1（mod p）
以下证明：
n mod p与在1~p-1之间的一数同余等价，这串数列，我们叫做完全剩余系（简称完系）
（a，m）=1
0，a，2a……（p-1）a（把完全剩余系的每一项都乘以a）
证明新得的0，a，2a……（p-1）a也是一个完全剩余系，过程如下
p|a*b（p为素数）
=>p|a或p|b
假设ia≡ja
Iaa-1≡jaa-1
i≡j
因为改变前为完全剩余系不存在于两个相同数
所以为完全剩余系
总之——完全剩余系*a（a为整数）仍是完全剩余系。
【终于写完博客啦！！哈哈哈】
课前“引导”：数论这种东西……emmm恶名远扬，阿呸，闻名信息信息界，见过它的人无一不赞叹它的惊人内涵，如今，我也接触到它的真面目，才发现……耳听为虚眼见为实啊！！！它比传说的难多了好吧！！！Σ(っ °Д °)っ
数论
n=p1a1*p2a2*……*pkak
m=p1b1*p2b2*……*pkbk
gcd(n,m)=p1min{a1,b1}*p2min{a2,b2}……
lcm(n,m)=p1max{a1,b1}*p2max{a2,b2}*……
(我天！！！这博客打的……好心累……<。)#)))≦)
a%m=b%m 即a≡b（mod m）【读作：a同余b】m|a-b【m整除（a-b）】
当a1≡a2 且b1≡b2时
1）a1+b1≡a2+b2
2）a1-b1≡a2+b2
3）a1*b1≡a2*b2
求ak mod m
ak
当k为奇数时 ak=ak/2*ak/2
当k为偶数时 ak=ak/2*ak/2
（快速幂算法）
Ps【特别注意】注意k为0时程序会炸，所以谨慎思考，细心做题(ง •_•)ง
并且，要注意以下操作：
当k=0时，将a0=1
当k=1时，将a1=a
注意要将边界值定义。
当mod m后，（a/b）*b≡a乘法逆元
a*b≡1（mod m）
即a，b在对m取余的情况下互为逆元。
所以
a=b-1
因为b-1*b=b-1+1=b0=1
（b-1即mod m情况下b的逆元）
同样
b=a-1
因为a*a-1=a1+(-1)=a0=1
（a-1即在mod m情况下a的逆元）
ax≡1（mod m）
m|ax-1
ax+=my（y为整数）
ax-my=1（x，y都为整数）
(a,m)|1
（QAQ。伟大的老师（老司机）说了，这是非！常！简！单！的数论入门题。假的吧！！！TAT没一句听懂的说！！！幸好老师说可以单记住结论！！！QAQ，who can 拯救 me）
a1*m≠1bm/（a1*m）
存在b！≡0（b不同余0）
则a*b≡0
（what 嘞嘞？！！以下笔记错误多多（老师的字体太有内涵了，原谅我等级低看不懂），具体干啥用的我也母鸡！！！）
a*a-1≡0
a*b≡0（mod m）
a-1*a*b≡0*a-1（mod m）
b≡0（mod m）
a/b≡a*b-1*b
≡a
实数：a≠0，整数：a，小数1/a。都可以拿来做除法。
【翻译】在实数里面，除了0之外都可以做除数（半天我只听懂这一句）。同样，因为0不能做除数，所以0没有逆元。
费马小定理
P为素数
1） ap≡a（mod p）
2）当（a，p）=1时
ap-1+≡1（mod p）
以下证明：
n mod p与在1~p-1之间的一数同余等价，这串数列，我们叫做完全剩余系（简称完系）
（a，m）=1
0，a，2a……（p-1）a（把完全剩余系的每一项都乘以a）
证明新得的0，a，2a……（p-1）a也是一个完全剩余系，过程如下
p|a*b（p为素数）
=>p|a或p|b
假设ia≡ja
Iaa-1≡jaa-1
i≡j
因为改变前为完全剩余系不存在于两个相同数
所以为完全剩余系
总之——完全剩余系*a（a为整数）仍是完全剩余系。
【终于写完博客啦！！哈哈哈】