【hdu-3307】Description has only two Sentences （欧拉函数）

a n = X*a n-1 + Y and Y mod (X-1) = 0.
Your task is to calculate the smallest positive integer k that a k mod a 0 = 0.

Input

Each line will contain only three integers X, Y, a 0 ( 1 < X < 2 31, 0 <= Y < 2 63, 0 < a 0 < 231).

Output

For each case, output the answer in one line, if there is no such k, output "Impossible!".

Sample Input

2 0 9

Sample Output

做这道题时参考过的博客：（在这里感谢这些博主，谢谢大佬们的文章）

化简步骤：

https://blog.csdn.net/wust_cyl/article/details/77431451

https://www.cnblogs.com/liyinggang/p/5535925.html

https://blog.csdn.net/z690933166/article/details/11830999

欧拉函数的模板：

https://www.cnblogs.com/handsomecui/p/4755455.html

https://blog.csdn.net/sentimental_dog/article/details/52002608

欧拉函数：

https://blog.csdn.net/qq_36409190/article/details/53173777 注意通式（后面的函数就是通过通式写出来的）

解题思路：

看到这么一道题目后，首先做的是用数学的知识对式子进行化简，递推出 $a_n=x^n*a_0+Y*(1+......+x^{n-1})=x^n*a_0+Y*(x^{n}-1)/(x-1)。$ 同时因为Y=t*(x-1) (t为任意常数)。最后可得 $a_n=x^n*a_0+t*(x^{n}-1)。$ 。两边同时取余得到 $a_n$ % $a_0$ $=(x^n-1)*t$ % $a_0$ 。

接下来一步自己刚开始也没搞清楚为什么这么做：这里取t与a0的最大公约数gcd(t,a0),那么我们可以得到(x^n-1)*b%a0等价为(x^n-1)*(b/gcd)%(a0/gcd)因为（b/gcd)%(a0/gcd)两者互质，所以肯定不会为0了。对于 $a_k$ % $a_0$ $=(x^n-1)*(t/gcd(y,a_0))$ % $(a_0/gcd(y,a_0))$ =0来说，只能 $(x^n-1)$ % $(a_0/gcd(y,a_0))$ =0。

设a'= $(a_0/gcd(y,a_0))$ ，则 $(x^n-1)$ %a'=0,即 $x^n$ 与1模a'同余。所以存在k的条件就是gcd(x,a')==1。 $x^k$ 同余1（mod a'）。

接下来，通过欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:，在这里a指的是本题的x。n指的是本题的a'。所以我们要求的k就是欧拉定理中的欧拉函数φ（n）即φ（a'）。但是这里求出的欧拉函数不一定是最小的解，所以还需要到它的因子里面去找。所以接下来要分解质因子，找出最小的符合条件的数。

疑问：

1、为什么要求出最大公约数之后再进行求解？是不是形如(xn-1)*y%a=0的式子可以都可以变成 (xn-1)%(a/gcd(y,a))=0进行求解?

2、那两个式子为什么等价。（看着别人的博客中提出了这些问题，其实我自己也有疑问）

为什么除gcd，为什么能除gcd。

（刚开始想法：这里除最大公约数是不是为了使得两者互质，然后使得方程有解？后来发现好像不是这样）

解答：（其实上面的问题很好解释，因为这些过程都是推导出来的）

(x^n-1)Y = 0(mod a0)
a0 * x = (x^n-1)*Y
a0 * x / gcd = (x^n-1) * Y / gcd
(x^n-1)(Y/gcd) = 0(mod a0 / gcd)

这里要感谢hyf大佬的帮助

求欧拉函数的部分：（定义：欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目）

typedef long long ll;
ll e[100][2];//e[][0]存因子，，e[][1]存这个因子有多少个 
ll Euler(ll n)//直接求小于或等于n,且与n互质的个数:（模板） 由φ(x)的通式得出 
{
    ll ret=n; 
    for(ll i=2;i*i<=n;i++)
     if(n%i==0)
      {
        ret=ret/i*(i-1);//先进行除法防止溢出(ret=ret*(1-1/p(i)))
        while(n%i==0)
		n/=i;
     }
    if(n>1)
          ret=ret/n*(n-1);
        return ret;
}

这部分是有欧拉函数的值，求法的原理其实在于欧拉函数的通式：φ(x) = x ( 1 - 1/p1 )( 1 - 1/p2 )( 1 - 1/p3 )( 1 - 1/p4 )…..( 1 - 1/pn )。其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。每一个小括号内都可以化成（（pi-1）/pi）。代码中的ret就是通式中的x，接下来遍历所有数，当这个数是x的质因子时，就进行通式中的操作，并让ret不断除这个质因子，直到这个数不再是他的因子时。（后面含有这个因子的合数不再会被选中，也可能到不了那里）。这里要注意注释的那句话：先进行除法防止溢出(ret=ret*(1-1/p(i)))。最后的这一步判断，是看看这个剩下的数是什么，如果是1，说明所有的质因子都被到了，若不是1，那很可能是一个素数，这个数没有进行上面操作，所以要在进行一次操作。

疑问：这个地方为什么是i*i？？（这里我试过改成i<=sqrt(n)也是对的）。

解答：

分解质因子的部分：

这里开的二维数组一维用来存放有哪些质因子，另一维存放同列的质因子在这个数中有几个，就是说这个数可以整除这个质因子多少次。循环内部就是找到质因数并且判断出他的个数，最后的if是为了判断剩下的数是什么，和上一个函数基本一样。

ll e[100][2];//e[][0]存因子，，e[][1]存这个因子有多少个 
void ff(ll ans,int &id)//分解质因数 
{
	for(ll i=2;i*i<=ans;i++)
	{
		if(ans%i==0)
		{
			e[id][0]=i;
			e[id][1]=0; 
			while(ans%i==0) ans/=i,e[id][1]++;
			id++; 
		}
	 } 
	 if(ans>1)
	 {
	 	e[id][0]=ans;
	 	e[id++][1]=1;
	 }
}

疑问：这里开的数组的大小怎么判断？自己想法：放素数，80000大的数组应该可以盛1e6（可能有偏差）。所以这里应该不用开太大。

主函数：

int main()
{
	ll x,y,a0;
	while(scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&a0)!=EOF)
	{
		 y=y/(x-1);
		ll g=gcd(y,a0); 
		 a0=a0/g;
		if(gcd(x,a0)!=1)
		{
			printf("Impossible!\n");
		} 
		else
		{
			ll ans=Euler(a0);
			int id=0;
			ff(ans,id);
			for(int i=0;i<id;i++)
			{
				for(int j=0;j<e[i][1];j++) 
				{
					if(qsm(x,ans/e[i][0],a0)==1) ans/=e[i][0];
				}
			} 
			printf("%lld\n",ans);
		}
	}
	return 0;
 }

主函数还比较好看，主要解释一下else中的操作。先求出欧拉函数，然后设置一个变量，来存有多少个质因数，接下来的两层循环是为了找到最小的符合条件的数。if中的判断就是看少了这的质因数后（这里的数比欧拉函数要小），能否满足k的条件。第一层循环遍历所有的质因数，第二层循环，遍历这个质因数有几个。如果两层循环都遍历完并且if语句都进去那么ans应该为1。但是大部分情况是不可能所有的if都进去。这里因为第二层中间的j写成了i 而超时了好几次，找了好几个小时，下次一定要注意。

代码：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<cstring> 
#include<string.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll e[100][2];// e[][0]存因子，e[][1]存这个因子有多少个 
ll Euler(ll n)//直接求小于或等于n,且与n互质的个数:（模板）  由φ(x)的通式得出 
{
    ll ret=n;//注意long long 
    for(ll i=2;i*i<=n;i++)//两个相乘？？开根号 
     if(n%i==0)
      {
        ret=ret/i*(i-1);//先进行除法防止溢出(ret=ret*(1-1/p(i)))
        while(n%i==0) 
        n/=i;
     }
    if(n>1)
          ret=ret/n*(n-1);
        return ret;
}
ll gcd(ll a,ll b)
{
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
ll qsm(ll a,ll b,ll mod)
{
	ll t=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)	t=t*a%mod;
		a=a*a%mod;//??？ 
		b>>=1;
	}
	return t;
}
void ff(ll ans,int &id)//分解质因数 
{
	for(ll i=2;i*i<=ans;i++)
	{
		if(ans%i==0)
		{
			e[id][0]=i;
			e[id][1]=0;//注意等于0 
			while(ans%i==0) ans/=i,e[id][1]++;//一条语句
			id++; 
		}
	 } 
	 if(ans>1)
	 {
	 	e[id][0]=ans;
	 	e[id++][1]=1;
	 }
} 

int main()
{
	ll x,y,a0;
	while(scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&a0)!=EOF)
	{
		 y=y/(x-1);
		ll g=gcd(y,a0); 
		 a0=a0/g;
		if(gcd(x,a0)!=1)
		{
			printf("Impossible!\n");
		} 
		else
		{
			ll ans=Euler(a0);
			int id=0;
			ff(ans,id);
			for(int i=0;i<id;i++)
			{
				for(int j=0;j<e[i][1];j++)//注意j从哪开始从1有=从0没= //注意是j不是i，注意这个细节。 
				{
					if(qsm(x,ans/e[i][0],a0)==1) ans/=e[i][0];
				}
			} 
			printf("%lld\n",ans);
		}
	}
	return 0;
 }

【hdu-3307】Description has only two Sentences （欧拉函数）

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