狄克斯特拉算法(Dijkstra’s algorithm)
找出最快的路径使用算法——狄克斯特拉算法(Dijkstra’s algorithm)。
使用狄克斯特拉算法
步骤
(1) 找出最便宜的节点,即可在最短时间内前往的节点。
(2) 对于该节点的邻居,检查是否有前往它们的更短路径,如果有,就更新其开销。
(3) 重复这个过程,直到对图中的每个节点都这样做了。
(4) 计算最终路径。
术语
权重(weight):
狄克斯特拉算法用于每条边都有关联数字的图,这些数字称为权重(weight)。
加权图/非加权图(weighted graph)
带权重的图称为加权图( weighted graph),不带权重的图称为非加权图(unweighted graph)。
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要计算非加权图中的最短路径,可使用广度优先搜索。要计算加权图中的最短路径,可使用狄克斯特拉算法。
环
可从一个节点出发,走一圈后又回到这个节点。
无向图意味着两个节点彼此指向对方,其实就是环!
狄克斯特拉算法只适用于有向无环图(directed acyclicgraph,DAG)。
负权边
不能将狄克斯特拉算法用于包含负权边的图
狄克斯特拉算法这样假设:对于处理过的海报节点,没有前往该节点的更短路径。这种假设仅在没有负权边时才成立。
实现
示例:求起点到终点的最短路径
#创建所有节点和路径的散列表 graph={'start': {'a': 6, 'b': 2}, 'a': {'fin': 1}, 'b': {'a': 3, 'fin': 5}, 'fin': {}} #创建已知节点花销的散列表 costs={'a': 6, 'b': 2, 'fin': float("inf")} #float('inf') 表示正无穷 #储存父节点的散列表 parents={'a': 'start', 'b': 'start', 'fin': None} #存储已访问过节点的列表 processed=[] #定义一个寻找最小花销的函数 def find_lowest_cost_node(costs): lowest_cost = float("inf") lowest_cost_node = None for node in costs: #遍历所有节点 cost = costs[node] if cost < lowest_cost and node not in processed: #寻找花销最小,且没有访问过的点 lowest_cost = cost lowest_cost_node = node return lowest_cost_node node = find_lowest_cost_node(costs) #找到花销最小的节点 while node is not None: #这个while循环在所有节点都被处理过后结束 cost = costs[node] neighbors = graph[node] for n in neighbors.keys(): #遍历当前节点的所有邻居 new_cost = cost + neighbors[n] #该节点到达该邻居的花销总和 if costs[n] > new_cost: #如果经当前节点前往该邻居更近 costs[n] = new_cost #更新该邻居的花销 parents[n] = node #同时将该邻居的父节点设置为当前节点 processed.append(node) #将当前节点标记为处理过 node = find_lowest_cost_node(costs) #找出接下来要处理的节点,并循环 print(parents)
小结
- 广度优先搜索用于在非加权图中查找最短路径。
- 狄克斯特拉算法用于在加权图中查找最短路径。
- 仅当权重为正时狄克斯特拉算法才管用。
- 如果图中包含负权边,请使用贝尔曼福德算法