我们看量子力学的时候,总是会被一些不太严谨的公式搞得一头雾水。里面包含了大量的简化让人摸不着头脑。下面我们试着把公式,用程序语言中“函数”的观点来重新理一理思路。我们会发现其中的含义一目了然:
无限空间的厄米性条件:
<φ|G^|ψ>=<G^φ|ψ>=<ψ|G^φ>∗
可以表示成:
∫φ∗(x)G^|ψ>(x)dx=∫[G^φ(x)]∗ψ(x)dx
我们会发现,上面的公式,如果按照函数的观点,是存在歧义的。为了叙述方便,这里补充一些基本知识:
- 符号
|ψ>
代表一个右矢量,为什么不用
ψ⃗
呢?因为向量
ψ⃗
可能是有限维的,而
|ψ>
可以是无限维,或者是一个函数。
-
∗
号代表一个矢量的复共轭,所谓共轭简单的说就是一个复数虚部的反向。例如
a+ib
的共轭就是
a−ib
,以此类推。所以当
x=a+ib
的时候,那么
x∗=a−ib
,以此类推。细心读者会发现,有些书会把
∗
号不写在变量的右上角,而写在变量的右边,例如
x∗=a−ib
,个人感觉这样会和乘号混淆
- 符号
^
代表这是一个算符。以计算机程序的观点,这就是一个函数,给一个输入,它经过一系列运算,得出一个输出。所以,其实
G^
就是这么一个函数:
def G(vector): ...处理逻辑...
,而
|ψ>
就是这个函数的输入值。
所以,整个表达式理解起来是什么意思呢?
<φ|G^|ψ>=<G^φ|ψ>=<ψ|G^φ>∗
意思是:
φ∗⋅G^(ψ)=G^(φ)⋅ψ=(ψ⋅G^(φ))∗
对于算符的共轭,我们可以用一个
†
号(dagger [‘dægə]匕首、短剑)表示:
<ψ|a^†=(a^|ψ>)∗
对易算符,我们这么表示:
[ql^,pl^]=ih¯δll′
即:
[ql^,pl′^]=pl′^ql^−ql^pl′^=ih¯δll′